55正弦定理和余弦定理(公开课)

正弦定理和余弦定理综合运用正弦定理(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R（其中R为该三角形外接圆的半径）(2)常见变形公式：2sinaRAsin2aAR::sin:sin:sinabcABC（角化边）（边化角）（比例）（1）余弦定理：2222222cos2cosbcacaBcababC(2)常见变形公式：222cos2bcaAbc余弦定理2222cosabcbcA(边角互化，求角,判别角)3.面积公式：BacAbcCabSsin21sin21sin21问题一：三角形中的边角运算问题二：三角形的形状判断问题三：三角形的面积求解43A1200271、在△ABC中，已知b＝12，A＝300，B＝1200，则a＝。A.一解B.两解C.无解D.不确定3、在△ABC中，若a＝3，b＝4，，则这个三角形中最大角为。37c4、已知△ABC中，a＝4，b=6，C＝600，则c＝。2、在△ABC中，b=，B＝600，c＝1，则此三角形有（）3一，三角形的边角运算解斜三角形的类型：②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用定理。③已知三边求三角，用定理。④已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，用定理。①已知两角和任一边，求其他两边和一角，用定理可归纳出——正弦正弦余弦余弦求角时要注意用“大边对大角”进行取舍。要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式。试确定三角形的形状.中已知例.,cos2,ΔCbaABC三角形的形状判断（1）在△ABC中，acosA＝bcosB，判断三角形的形状。（2）在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能2222536641cos0225620abcCabC思路：转化成单一的角关系或边长的关系形的形状.试确定三角中已知CBAbcacbcbaABCcossin2sin,3))((,Δ练习三角形的面积求解0120,5,7,ABCAABBCABC在中，求的面积。12ABCS底高BacAbcCabSABCsin21sin21sin211()(2ABCSabcrr是该三角形内切圆半径）的值.：求积为面中在例CBAcbabAABCsinsinsin,3,1,60,Δ.1Ο四，正余弦定理的综合运用.,2,)sin()sinsin(22,Δ.222CBbaCAABC求径为并且外接圆的半已知中在例的值.和求中已知BAbcabccbABCtan321,Δ,,3222：例例4在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求A的度数．(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)由4sin2B＋C2－cos2A＝72及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝72，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.本讲栏目开关填一填研一研练一练(2)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc.∵cosA＝12，∴b2＋c2－a22bc＝12，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝3，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由b＋c＝3，bc＝2.解得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.小结本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组．本讲栏目开关填一填研一研练一练例5在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．本讲栏目开关填一填研一研练一练解(1)由题设并由正弦定理，得a＋c＝54，ac＝14，解得a＝1，c＝14或a＝14，c＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－12b2－12b2cosB，即p2＝32＋12cosB.因为0cosB1，所以p2∈32，2，由题设知p0，所以62p2.本讲栏目开关填一填研一研练一练小结熟记:正、余弦定理及其变形，三角形面积公式，合理采用公式（求边、外接圆半径、角、面积等）活用：灵活运用定理，实现边角转化（判别三角形形状等）注重：数形结合与转化思想