用函数观点看一元二次方程(第1课时)

湖南师大附中曾辉问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有关系y=－5x2+20x（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？考虑以下问题：y=－5x2+20xx2－4x＋3=0x1=1，x2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．x1=1sx2=3s15m15m15＝－5x2+20x解方程（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？考虑以下问题：y=－5x2+20x解方程20＝－5x2+20xx2－4x＋4=0x1=x2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．x1=2s20m（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？考虑以下问题：y=－5x2+20x解方程x2－4x＋4.1=0球的飞行高度达不到20.5m．20.5＝－5x2+20x因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．20m（4）球从飞出到落地需要用多少时间？考虑以下问题：y=－5x2+20x解方程0＝－5x2+20xx2－4x=0x1=0,x2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ2(0)yaxbxca函数，当y=m时，对应的x值就是方程的根。2(0)axbxcma思考：设函数，当函数值y取某一确定值m时，即y=m时，对应的自变量x值和方程的根之间具有怎样关系呢？2(0)yaxbxca2(0)axbxcma0y特别是时，对应的自变量x的值就是方程的根。20(0)axbxca右图中二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（1）y=x2＋x－2y=x2＋x－21-2..抛物线y=x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.由此可知：－2，1是方程x2＋x－2＝0的根.当x=－2或x=1时，函数值y=0.（2）y=x2－6x＋9y=x2－6x＋913.抛物线y=x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值y=0．由此可知：3是方程x2－6x＋9＝0的根.右图中二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？抛物线与x轴公共点的横坐标和方程的根之间有怎样的关系呢？2(0)yaxbxca20(0)axbxca如果抛物线与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是的根。2(0)yaxbxca20(0)axbxca（3）y=x2－x＋1下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？1y=x2－x＋1抛物线y=x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知：方程x2－x＋1＝0没有实数根．oyx无实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根xyyxxyyxyxyx有1个公共点无公共点有2个公共点抛物线与x轴的位置关系一元二次方程根的情况0值00知识迁移2yaxbxc例1：抛物线的图象如图所示，请根据图象回答：yxo3-113xx或13x0y（3）x取何值时，？0y（2）x取何值时，？121,3xx由图知：抛物线与x轴交点的横坐标为-1，3所以方程的解为20axbxc（1）方程的解是什么？例2：已知抛物线（1）试判断该抛物线与x轴的交点个数；（2）当k=-1时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标。22(21)yxkxkk思路：“判断抛物线与X轴的交点个数问题”转化为“判断方程有无实根的问题”，实质就是要求判别式的值。随堂练兵oyx1222512yxx1、右图为函数的图象，观察图象得一元二次方程的两根为________________.25102xx121,22xx211xx21yxx2、二次函数的图象如图所示,你能根据图象找到方程的根吗？o-1yx121yxx-121121,2xx3、若二次函数的图象与x轴交于两点，则k的取值范围为_____.222(41)21yxkxk98kk的取值范围为由，得0二次函数的函数值恒为正，则需满足条件____________________．2yaxbxc2040abac且变式：二次函数的函数值恒为负，则需满足条件__________________．2yaxbxc2040abac且谈一谈抛物线y=ax2+bx+c与x轴有三种位置关系（1）无公共点（2）有1个公共点（3）有2个公共点方程有两个不等实根一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况方程无实根方程有两个相等实根作业必做题：P23/习题1、3、4P24/习题5选做题：一元二次方程x2－4x+2=－1的根与二次函数y=x2－4x+2的图象有何关系？请你把方程的根在函数图象上表示出来．