5. 2012年全国高中数学联赛吉林预赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛吉林省预赛一．选择题（每小题6分，共30分）1.等差数列na中，10a＞，且81358aa，则前n项和nS取最大值时，n的值为（）．（A）20（B）21（C）22（D）232.若集合：221()lg(1)1lg()Sxyxyxy，≤，222()lg(2)2lg()Sxyxyxy，≤，则2S的面积与1S的面积比为（）．（A）99:1（B）100:1（C）101:1（D）102:13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2yx，值域为019，，的“同族函数”共有（）．（A）7个（B）8个（C）9个（D）10个4.设方程41log04xx与141log04xx的根分别为12xx，，则（）．（A）1201xx＜＜（B）121xx（C）1212xx＜＜（D）122xx≥5.设12nAAA，，，为集合12Sn，，，的n个不同子集(4)n≥，为了表示这些子集，作n行n列的数阵，规定第i行与第j列的数为01jijjiAaiA，，，，则下列说法错误的是（）．（A）数阵中第1列的数全是0当且仅当1A（B）数阵中第n列的数全是1当且仅当nAS（C）数阵中第j行的数字和表明集合jA含有几个元素（D）数阵中所有的2n个数字之和不超过21nn二．填空题(每小题6分，共30分)6.设数列na的前n项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列12naaa，，，的“均数”，已知数列121005aaa，，，的“均数”为2012，那么数列1210051aaa，，，，的“均数”是_______．7.已知P是ABC△所在平面内一点，满足PAPBPCBC，则ABP△与ABC△的面积之比为_______．8.方程2(1)sinπ10xx在区间[24]，内的所有解之和等于_______．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃9.已知ABC△中，D为AC的中点，3AB，BDBC，ABC△的面积为3，则A的大小等于_______．10.函数()fx的定义域为D，若对于任意12xxD，，当12xx＜时,都有12()()fxfx≤，则称函数()fx在D上为非减函数．设函数()fx在[01]，上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f；②1()32xffx；③(1)1()fxfx，则51128ff_______．三．解答题(共90分)11.（本小题满分25分）数列{}na，满足11a，22a，33a，44a，55a．当5n≥时，1121nnaaaa，问：存在几个正整数m，使得2221212mmaaaaaa．12.（本小题满分25分）（1）已知2(1)(2)xxM＜对任意的01x＜＜都成立，求常数M的最小值；（2）设正整数3n≥，若12nxxxR，，，，且121nxxx．求证：22212111211112nnxxx＞．13.（本小题满分25分）已知锐角ABC△，AHBC于H，P为高AH上一点，过点P作AB的垂线与ABH△的外接圆交于点DD，，过点P作AC的垂线与ACH的外接圆交于点EE，，求证：DDEE，，，四点共圆，并指出所共圆的圆心．14.（本小题满分15分）已知数列na的通项公式为20123nan，求所有的正整数n，使得数列na的前n项能分成两部分，这两部分的和相等．