5.2：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向我们在§5.1中看到二次曲线0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF00xxXtyyYt和具有方向的直线YX:（1）（2）210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy的交点参数满足或者直线全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分.当满足条件02),(22212211YaXYaXaYX（3）210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy时，交点数目会有三种情况或者只有一个实交点，或者没有交点，这说明,直线方向会影响其与曲线的交点.方向(3)具有特殊性.我们将(3)所示的方向定义为二次曲线的渐近方向.我是特殊方向定义5.2.1满足条件的方向叫做二次曲线（1）的渐近方向，否则叫做非渐近方向.0),(YXYX:02),(22212211YaXYaXaYX（3）因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐近方向所满足的（3）总有确定的解.YX:下面考虑(3)存在渐近方向的个数问题.如果，那么把（3）改写成011a022212211aYXaYXa得1121211221121212aIaaaaaaYX如果，把（3）改写成022a021112222aXYaXYa02),(22212211YaXYaXaYX（3）022212211aYXaYXa如果，那么把（3）改写成011a2221222221121212aIaaaaaaXY得111221222aaIaa0212XYa所以1:00:1:或YX这时00021212122aaaI02),(22212211YaXYaXaYX（3）02211aa如果012a那么一定有这时（3）变为总结以上讨论的各种情况,渐近方向的数目?最多两个!(从比值的角度看)111221222aaIaa02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa如果渐近方向满足1:00:1:或YX这说明渐近方向的数目最多两个!(从比值的角度看)有虚方向吗?区分一下虚实方向.02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa如果渐近方向满足1:00:1:或YX从上我们看到，02I当且仅当时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；111221222aaIaa02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa如果渐近方向满足1:00:1:或YX111221222aaIaa从上我们看到，当且仅当时，02I二次曲线有一个实渐近方向；02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa如果渐近方向满足1:00:1:或YX111221222aaIaa从上我们看到，当且仅当时，02I二次曲线有两个实渐近方向.因此二次曲线的渐近方向最多有两个.总结:02I当且仅当时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；111221222aaIaa当且仅当时，02I二次曲线有一个实渐近方向；当且仅当时，02I二次曲线有两个实渐近方向.显然二次曲线的非渐近方向有无数多.因此,可以利用渐近方向将二次曲线分类定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三种类型，即1)椭圆型曲线：；02I2)抛物型曲线：；02I3)双曲型曲线：.02I例1求下列二次曲线的渐近方向,并指出曲线属于何种类型.(1)2242210xxyyxy(2)2234xy解:(1)渐近方向满足2242210xxyyxy02),(22212211YaXYaXaYX即:2240XXYY2()410XXYY解得:23XY有两个实渐近方向.是双曲型曲线.也可以由111221222aaIaa123021得到是双曲型曲线.2234xy解:(1)渐近方向满足02),(22212211YaXYaXaYX即:2230XY23()10XY解得:3XiY有两个虚渐近方向.是椭圆型曲线.也可以由111221222aaIaa303001得到是椭圆型曲线.p193.1.现在请大家做课堂练习2.二次曲线的中心与渐近线我们在§5.1中又看到，当直线的方向为二次曲线（1）的非渐近方向时，即当YX:02),(22212211YaXYaXaYX时，直线与二次曲线总交于两个点（两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的）.00xxXtyyYt210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy我们把由这两点决定的线段叫做二次曲线的弦.AB线段AB是弦定义5.2.3如果点是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而是二次曲线的对称中心）,那么点叫做二次曲线的中心。CCCC我们这些弦都被C平分称C为中心根据这个定义，),(00yx当点为二次曲线（1）的中心时，),(00yxYX:那么过以任意非渐近方向为方向的直线00xxXtyyYt与二次曲线交于两点21,MM点就是弦的中点.),(00yx21MMC(x0,y0)M1M2),(00yxYX:那么过以任意非渐近方向为方向的直线00xxXtyyYt与二次曲线交于两点21,MM设交点M1与M2对应的参数分别为t1,t2.则有121200,22xxyyxy注意101101xxXtyyYt202202xxXtyyYt(a)所以(a)意味着021tt0),()],(),([2),(000020012yxFtyxYFyxXFtYX由前面所得021tt而另一方面,直线00xxXtyyYt与二次曲线的交点21,MM对应的参数,可以由下列方程解得从韦达定理得0),(),(002001yxYFyxXF（4）因为为任意非渐近方向，所以（4）式是关于的恒等式，从而有YX:YX，0),(),(002001yxYFyxXF（4）0),(,0),(002001yxFyxF反过来，适合上面两式的点，显然是二次曲线的中心.),(00yx这样我们就得到了下面的定理：定理5.2.1点是二次曲线的中心，其充要条件是),(00yxC0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF（5）所以，二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF解:例1求曲线的中心.223246370xxyyxy二次曲线的中心坐标由下列方程组决定1(,)330,Fxyxy23(,)402Fxyxy解得:2715,2222xy二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含与的一次项。xy由上面的方程容易得到推论例如22261xy(0,0)为中心.练习：p193.3.作业：P194.4.定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三种类型，即1)椭圆型曲线：；02I2)抛物型曲线：；02I3)双曲型曲线：.02I复习0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）下面将利用中心把二次曲面分类.0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF下面将利用中心把二次曲面分类.先考虑中心最多有多少?由于二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）1112212220,aaIaa如果系数行列式那么(5)有唯一的解.此时,二次曲线有唯一的中心.如果系数行列式1112212220,aaIaa即，22121211aaaa231322121211aaaaaa二次曲线没有中心；而当时，231322121211aaaaaa那么当0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果系数行列式1112212220,aaIaa即，22121211aaaa时，（5）（5）无解，（5）有无数多解,换句话说,直线0131211ayaxa（或0232212ayaxa）上的所有点都是二次曲线的中心，这时这条直线叫做中心直线.定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.例2椭圆22221xyab抛物线22ypx一对平行直线22ya根据这个定义，我们得二次曲线按其中心得分类：;0221212112aaaaI0221212112aaaaI1）中心曲线：2）非中心曲线：，22121211aaaa0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxFo1无心曲线：，231322121211aaaaaao2线心曲线：。231322121211aaaaaa即由前面关于曲线按渐近方向的分类二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型，即1)椭圆型曲线：；3)双曲型曲线：.2)抛物型曲线：；02I02I02I因此椭圆型曲线与双曲型曲线都是中心曲线.抛物型曲线是非中心曲线，它包括无心曲线与线心曲线.定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线.而抛物型曲线二次曲线的渐近线显然，椭圆型曲线只有两条虚渐近线而无实渐近线，双曲型曲线有两条实渐近线，中的无心曲线却无渐近线，至于线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线.定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线