第十讲 期权的希腊值

第十讲期权的希腊值简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广期权的希腊值例某银行卖出了100,000份无股息股票的欧式看涨期权，收入为300,000美元。令𝑆0=49，K=50，r=5%，σ=20%，T=20周，μ=13%由布莱克-斯科尔斯-默顿模型可知，期权的价格为240,000美元为了将利润锁定在60,000美元，银行该如何对冲风险？简单对冲裸露头寸和带保头寸裸露头寸：对期权头寸不采取任何任何对冲策略裸露头寸在期权被执行时费用高昂，风险巨大带保头寸：在卖出期权的同时买入相应数量的标的股票，在上题中买入10000股股票即为带保头寸策略带保头寸在期权没有被执行时损失很大止损交易策略该银行在股票价格刚刚高于执行价格50美元时马上买入10000股股票，在股票价格低于50美元时马上卖出10000股股票核心思想是期权处于虚值状态时采用裸露头寸策略，处于实值状态时采用带保头寸策略简单对冲止损交易策略如图，止损交易策略在𝑡1时刻买入股票、𝑡2时刻卖出股票、𝑡3时刻买入股票、𝑡4时刻卖出股票、𝑡5时刻买入股票并在T时刻交割简单对冲止损交易策略不考虑贴现，卖出期权且对冲风险的费用Q=max(𝑆0−K,0)因为①对冲者的现金流发生在不同时刻，需要贴现；②股票的买入与卖出不可能总是正好发生在价格等于K的时刻;所以，Q≠max(𝑆0−K,0)为了减小原因②引起的误差，可以以K+ε的价格买入股票，K－ε的价格卖出股票。每一笔买入与卖出股票的费用为2ε，可以通过增大价格观测与交易的频率来使得ε变的更小采用蒙特卡洛模拟法可以检验止损交易策略的整体效果：止损交易策略的表现∆𝐭（周）5421𝟎.𝟓𝟎.𝟐𝟓对冲表现1.020.930.820.770.760.76注：对冲的表现以期权对冲费用的标准差与期权的布莱克-斯科尔斯-默顿价格的比率来衡量第十讲期权的希腊值简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广DeltaDelta对冲看涨期权价格AB斜率=D=0.6股票价格Delta(D)为期权价格变动与其标的资产价格变动的比率。可以用如下方式来对冲风险：进入1000份期权的短头寸；买入600股股票期权头寸的盈利（亏损）被股票头寸的亏损（收益）所抵消。DeltaDelta对冲∆=𝜕𝑐𝜕𝑆,c是看涨期权的价格，S是股票的价格。该式说明一份期权短头寸的Delta被∆份股票长头寸的Delta抵消，整体Delta为0。Delta为0的头寸为Delta中性随着股票价格和时间的变化，Delta也会发生变化。因此，对冲策略需要调整。动态对冲与静态对冲（“保完即忘”）Delta中性的头寸组合的收益率等于（瞬时）无风险利率为期权定价Delta欧式股票期权的Delta欧式无股息股票看涨期权的Delta为N(d1)对看涨期权长头寸做对冲时，对买进的每个期权需要持有N(𝑑1)股股票的短头寸；对看涨期权短头寸做对冲时，对卖出的每个期权需要持有N(𝑑1)股股票的长头寸欧式无股息股票看跌期权的Delta为N(d1)–1看跌期权的Delta为负，说明看跌期权的长头寸应该由标的股票的长头寸对冲，看跌期权的短头寸应该由标的股票的短头寸对冲K看涨期权的Delta股票价格1.00.0K看涨期权的Delta股票价格﹣1.00.0Delta欧式股票期权的Delta实值期权、平值期权和虚值期权的Delta与期权期限之间的变化关系Delta期限虚值平值实值Delta欧式股票期权的Delta例考虑最开始的例子中的无股息股票看涨期权，𝑆0=49，K=50，r=5%，σ=20%，T=20周（0.3846年）𝑑1=ln（49/50）+0.05+0.22/2×0.38460.2×0.3846=0.0542Delta为N（𝑑1），即0.522。当股票价格为∆S时，期权价格变化为0.522∆S。Delta对冲的动态模拟第一种情景分析：采用之前的例题做Delta对冲的例子，假设每星期平衡一次周数股票价格Delta购买股票数量购买股票费用(千美元)累计现金流(千美元)利息费用(千美元)049.000.52252,2002,557.82,557.82.5148.120.458(6,400)(308.0)2,252.32.2247.370.400(5,800)(274.7)1,979.81.9.................................................1854.620.990120065.55197.35.01955.871.0001,00055.95,258.25.12057.251.000005263.3Delta对冲模拟（期权为实值期权；对冲成本为263300美元）Delta对冲的动态模拟第二种情景分析周数股票价格Delta购买股票数量购买股票费用(千美元)累计现金流(千美元)利息费用(千美元)049.000.52252,2002,557.82,557.82.5149.750.5684,600228.92,789.22.7252.000.70513,700712.43,504.33.4.................................................1848.130.18312100582.41109.61.11946.630.007(17,600)(820.7)290.00.32048.120.000(700)(33.7)256.6Delta对冲模拟（期权为虚值期权；对冲成本为256600美元）Delta对冲的动态模拟根据两种情况的模拟结果，贴现后对冲成本很接近布莱克-斯科尔斯-默顿的理论价格24000美元，但并不完全一致提高对冲交易的频率，对冲费用与理论值的差别会减小采用蒙特卡洛模拟法可以检验不同调整频率下的对冲效果Delta对冲的效果∆𝐭（周）5421𝟎.𝟓𝟎.𝟐𝟓对冲表现0.430.390.260.190.140.09DeltaDelta对冲的费用对期权实行Delta对冲时涉及“买高卖低”的交易规则。证券组合的Delta以某一单一资产为标的资产的期权或其他衍生产品组合的Delta定义为𝜕𝜕𝑥其中为证券组合的价值证券组合的Delta值可由证券组合内各个单一期权的Delta来计算。如果一个交易组合由数量为𝑤𝑖（1≤𝑖≤𝑛）的期权组成,那么证券组合的Delta值为∆=𝑤𝑖∆𝑖𝑛𝑖=1其中∆𝑖为第𝑖的期权的Delta。当Delta为0时，证券组合为Delta中性第十讲期权的希腊值简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广Theta衍生产品（或衍生产品组合）的Theta(Q)定义为证券组合价值变化与时间变化的比率对于一个无股息股票的欧式看涨期权Q（看涨）=-𝑆0𝑁′(𝑑1)σ2𝑇−𝑟𝐾𝑒−rT𝑁（𝑑2）其中𝑑1=ln𝑆0/𝐾+𝑟+σ2/2𝑇2𝑇𝑑2=ln𝑆0/𝐾+𝑟−σ2/2𝑇2𝑇=𝑑1−σ𝑇𝑁′𝑥=12𝜋𝑒−𝑥2/2为标准正态分布的函数对于一个无股息股票的欧式看跌期权Q（看跌）=-𝑆0𝑁′(𝑑1)σ2𝑇+𝑟𝐾𝑒−rT𝑁（−𝑑2）在以上公式中时间以年为单位。通常在计算Theta时，时间是以天为单位。为了计算每日历天的Theta，上面计算Theta的公式需除以365，要计算每交易日的Theta,则需除以252期权Theta通常为负ThetaThetaKTheta股票价格0Theta期限0虚值实值平值看涨期权的Theta与标的资产关系的曲线在三种不同情况下Theta随时间变化的曲线第十讲期权的希腊值简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值GammaGammaGamma(G)是指交易组合Delta(D)的变化与标的资产价格变化的比率。它等于交易组合关于标的资产价格的二阶偏导数：G=𝜕2𝜕𝑆2期权价格与标的资产价格曲线的曲率会导致Delta对冲的误差Gamma值正是用来度量这一曲率SC股票价格S'看涨期权价格C''C'GammaGamma假定∆S为在很小时间区间∆t内股票价格的变化，∆为相应的交易组合价格变化。对于一个Delta中性的交易组合，当忽略高级项后∆=Q∆t+12G∆𝑆2KThetaKThetaKThetaKThetaa)交易组合有较小的正Gammab)交易组合有较大的正Gammac)交易组合有较小的负Gammad)交易组合有较大的负GammaDelta中性交易组合的∆与∆S之间的关系图GammaGamma标的资产、远期以及期货的Gamma均为零。当证券组合中含有标的资产及其他衍生资产时，组合的Gamma值就是各期权Gamma值与其数量的乘积G=𝑤𝑖G𝑖𝑛𝑖=1标的资产Gamma为0，不能用于改变交易组合的Gamma。要改变交易组合的Gamma必须采用价格与标的资产价格呈非线性关系的产品，如期权假设一个Delta中性的交易组合的Gamma为G，某个期权的Gamma为G𝑇，如果将𝑤𝑇数量的期权加入交易组合中，则新交易组合Gamma为𝑤𝑇G𝑇+G因此要使交易组合为Gamma中性，期权交易头寸应为𝑤𝑇=G/G𝑇。引入新期权很可能会改变交易组合的Delta，因此必须调整标的资产数量以保证新的交易组合Delta中性。随着时间变化还需要不断调整期权数量以使交易组合为Gamma中性GammaGamma对于一个无股息股票的看涨与看跌期权，其Gamma为：G=𝑁‘𝑑1𝑆0σ𝑇Gamma与期限和标的资产价格的关系：KGamma实值Gamma股票价格0期限平值虚值看涨期权Gamma与标的资产价格的关系期权的Gamma与期权期限的关系GammaDelta、Gamma和Theta之间的关系：如果股票的连续股息收益率为q，那么由布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程可知，股票衍生产品组合满足：𝜕Π𝜕𝑡+rS𝜕Π𝜕𝑆+12σ2𝑆2𝜕2Π𝜕𝑆2=𝑟Π因为Q=𝜕Π𝜕𝑡，∆=𝜕Π𝜕𝑆，G=𝜕2Π𝜕𝑆2因此Q+𝑟𝑆∆+12σ2𝑆2G=𝑟Π对于Delta中性交易组合，∆=0，因此Q+12σ2𝑆2G=𝑟Π第十讲期权的希腊值简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广其他希腊值与推广VegaVega(n)是指交易组合价值变化与标的资产波动率变化的比率。V=𝜕Π𝜕𝜎持有标的资产的头寸可以改变Delta的大小，但不能改变Vega为了调整Gamma和Vega的值，必须持有期权或其他衍生产品的头寸。要使一个交易组合同时达到Gamma和Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的其他希腊值与推广Vega对于无股息股票的欧式看涨期权，Vega由以下公式给出：V=𝑆0𝑇𝑁’𝑑1KVega股票价格0期权Vega与股票价格的关系其他希腊值与推广Vega例DeltaGammaVega组合0−5000−8000期权10.60.52.0期权20.50.81.2为了使交易组合的Delta和Gamma保持中性，什么样的期权1头寸和标的资产头寸比较合适?答案：购买10,000个期权1，同时卖出6000个单位的标的资产。为了使交易组合的Delta和Vega保持中性，什么样的期权1头寸和标的资产头寸比较合适?答案：购买4000个期权1，同时卖出2400个单位的标的资产。其他希腊值与推广Vega例DeltaGammaVega组合0−5000−8000期权10.60.52.0期权20.50.81.2为了使交易组合的Delta、Gamma和Vega保持中性，什么样的期权1头寸、期权2头寸和标的资产头寸比较合适?求解方程−5000+0.5w1+0.8w2=0−8000+2.0w1+1.2w2=