圆锥曲线03圆锥曲线综合1(B级)文科.学生版

MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page1of17内容要求层次重难点圆锥曲线与方程曲线与方程的对应关系B轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法直线与圆锥曲线的位置关系C中点弦问题1．1点差法对于椭圆22221xyab，设弦的两端点以及中点的坐标分别为11,Axy、22,Bxy、00,Mxy，那么22112222222211xyabxyab两式相减，得22221212220xxyyab12121212220xxxxyyyyab（注意，这里连结22122xxa与22122yyb是减号）当12xx时，两边同除12xx，得00122212220xyyyabxx于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率ABk的关系式：知识内容高考要求圆锥曲线综合1klkOMMSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page2of170022220ABxykab特别的，当00x时，我们经常使用以下结论：2020ABybkxa在这里00OMykx，于是上式也即22OMABbkka．需要注意的是：当AB与y轴平行（没有斜率）时，120xx，此时012xxx，00y；当AB与x轴平行（斜率为0）时，120xx，此时00x，012yyy．类似的，对于双曲线22221xyab，有2020ABybkxa；对于抛物线22ypx，有0ABykp；对于抛物线22xpy，有0ABxpk．1．2中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系在实际应用中，由于关系式2020ABybkxa不依赖于弦AB端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．设直线:l0AxByC，将其与椭圆方程22221xyab联立得，222222222220aAbBxaACxaCbB其判别式222222224abBaAbBC△于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于22222aAbBC0．另一方面，若此时我们将l与椭圆联立，可以得到“中点”00,Mxy满足的式子：2020000yAbxBaAxByC解得202222aAxCaAbB，202222bByCaAbBMSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page3of17于是220022xyab2222222222222222aAbBCCaAbBaAbB22222CaAbB因此利用中点弦问题的解法求出的点00,Mxy在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．类似的，我们可以得到，M在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；M在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．定点弦问题2．1直线参数方程的引入与推广2．1．1直线参数方程的引入在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．平面上的直线l可以由直线l上的一点00,Pxy与表征该直线l方向的方向向量,pqn（其中0n）确定．容易知道，平面上一点,Mxy在直线l上的充分必要条件就是向量PM与n平行（共线），也即PMtn（其中t为实数）根据平面向量的坐标运算法则，我们有00,,xxyytptq整理有00xxtpyytq这就是平面上直线的参数方程，其中参数PAtn．为了方便应用，我们经常取单位方向向量cos,sinn，其中为直线的倾斜角．这样做的好处在于此时PAt，也就是说参数t有鲜明的几何意义（参数t所对应的点M到定点00,xy的距离为t），缺点在于不方便使用和运算．在实际解题中，我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率k，于是我们也经常取直线的方向向量为1,kn，此时参数t所对应的点T到定点00,xy的距离为21tktn，并且可以很方便的进行与圆锥曲线的联立．MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page4of172．1．2直线参数方程的推广平面上的直线方程还可以通过直线l上的一点00,Pxy和直线的法向量,ABn引入．容易知道，平面上一点,Mxy在直线l上的充分必要条件就是向量PM与n垂直，也即0PMn根据平面向量的坐标运算法则，我们有000AxxByy整理有000AxByAxBy记00AxByC，那么就得到直线的一般形式0AxByC．利用这一引入过程，我们可以很方便的推导出平面上点,Kst到直线:l0AxByC的距离公式．事实上，,dKlKPnn（向量KP在向量n方向上的投影长度）而,ABn，00,KPxsyt，代入得002222,AxsBytAsBtCdKlABAB与利用方向向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间直线的方程000xxyyzzabc其中,,abc为空间直线的方向向量，000,,xyz为该直线上的一点．与利用法向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间平面的方程0AxByCzD其中,,ABC为空间平面的法向量，000DAxByCz，000,,xyz为该空间平面上的一点．而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式222,AuBvCwDdKABC其中点K坐标为,,Kuvw，平面方程为:0AxByCzD．2．2利用直线参数方程解定点弦问题直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题途径．尤其是当这类问题不方便转化为x、y中的任何一个方向上研究时（当定点的横纵坐标均不为0时），利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果．下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程．对于通过定点（椭圆2222:1xyEab的左焦点）1,0Fc、倾斜角为的直线，我们写出直线的参数MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page5of17方程将该方程代入椭圆方程可得222222cossin0btcatab整理得222224sin2cos0bctbctb于是焦点弦长ABABtt2242222222cos4sinsinbcbbcbc22222sinabbc在实际应用中，一定要特别注意参数的正负（这取决于参数对应的点与定点的位置关系）．另外，应该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时，掌握应用求根公式对问题进行化简的方法．顶点弦问题顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线（除抛物线外）的一个重要性质：圆锥曲线E上的点P与圆锥曲线的一对顶点A、B（对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积PAPBkk为定值．对于椭圆2222:1xyEab，取其左右顶点,0Aa，,0Ba，那么对于,Pxy222PAPByyykkxaxaxa将椭圆方程变形，有222222221xbybaxaa代入上式，有22PAPBbkka．类似的，我们可以得到对于双曲线2222:1xyEab，有22PAPBbkka；对于圆222:Exyr，有1PAPBkk．2212211222122122mmmmmmMSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page6of17题型一：中点弦问题【例1】（2010课标全国卷高考）已知双曲线E的中心为原点，(30)F，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(1215)N，，则E的方程为（）A．22136xyB．22145xyC．22163xyD．22154xy【例2】（西城·文·题18）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．⑴求椭圆C的方程；⑵设直线:2lykx与椭圆C交与,AB两点，点0,1P，且||||PAPB，求直线l的方程．【例3】（2010天津高考）已知椭圆22221(0xyabab）的离心率3e2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．⑴求椭圆的方程；⑵设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(0)a，，点0(0)Qy，在线段AB的垂直平分线上，且4QAQB，求0y的值．例题精讲MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page7of17【例4】（2010安徽）已知椭圆E经过点23A，，对称轴为坐标轴，焦点1F，2F在x轴上，离心率1e2．⑴求椭圆E的方程；⑵求12FAF的角平分线所在直线l的方程；⑶在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，说明理由．题型二：定点弦问题【例5】已知椭圆1C和抛物线2C有公共焦点(1,0)F，1C的中心和2C的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M的直线l与抛物线2C分别相交于A，B两点．⑴写出抛物线2C的标准方程；⑵若12AMMB，求直线l的方程；⑶若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线2C上，直线l与椭圆1C有公共点，求椭圆1C的长轴长的最小值．MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page8of17【例6】如图，P是抛物线C：212yx上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．⑴若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；⑵若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求STSTSPSQ的取值范围．OyxSlTMPQ题型三：顶点弦问题【例7】已知点P在双曲线222xya（0a）的右支上（P与2A不重合），12AA，分别为双曲线的左、右顶点，且21122APAPAA，则12PAA（）A．30B．27.5C．25D．22.5MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page9of17【例8】（东城·文·题19）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2，且与抛物线243yx有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线3y分别交于,GH两点．⑴求椭圆C的方程；⑵求线段GH的长度的最小值；⑶在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得TPA△的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．【例9】（西城·题19）如图，椭圆22:14yCx短轴的左右两个端点分别为,AB，直线:1lykx与x轴、y轴分别交于两点,EF，与椭圆交于两点,CD．⑴若CEFD，求直线l的方程；⑵设直线,ADCB的斜率分别为12,kk，若12:2:1kk，求k的值．MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）文科.学生版Page10of17【例10】（2010年江苏理科18）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22195xy的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点,Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点11,Mxy、22,Nxy，其中0m，10y，20y