2.3.2双曲线的几何性质

2.3.2双曲线的简单几何性质222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1MoyxF1F2A1A2B2B1复习1椭圆的图像与性质标准方程范围对称性顶点离心率)0(12222babyaxaxabyb对称轴：坐标轴对称中心：原点A1,A2,B1,B210ace(-c,0)(c,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线的标准方程研究它的几何性质。)0,0(12222babyaxx轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。2、对称性一、探究双曲线的简单几何性质1、范围xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)3、顶点(与对称轴的交点)xaxa或)0,()0,(21aAaA、1A2Axyo1B2B1A2A（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。)0(22mmyxM(x,y)4、渐近线1A2A1B2BQxyoxabyxabyab当点M的横坐标越来越大，M到直线的距离越来越小，但永远不等于0.可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。12222byaxxaby双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。5、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace离心率。ca0e1e是用来刻画双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大。（1）定义：（2）e的范围：思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答12222bxayxbayoxyB1B2A1A2双曲线标准方程：双曲线性质：1.范围：2.对称性：3.顶点：4.渐近线方程：5.离心率：y≥a或y≤-a关于坐标轴和原点对称A1(0，-a),A2(0,a)A1A2为实轴，B1B2为虚轴1ace上述两种双曲线性质对比标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线12222byaxx≥a或x≤-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴A1A2虚轴B1B2F1(-c,0),F2(c,0)ace=y=abx±12222axbyy≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称。B1（0,-a),B2（0，a）F1(0,-c),F2(0,c)实轴B1B2虚轴A1A2ace=y=bax±关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1xO..F2F1)0(1babyax2222bybaxaA1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）)10(eaceF1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)),b(abyax0012222Ryaxax，或关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）)1(eace渐进线无xaby2214xy(2):的渐近线方程为：2xy2244xy的渐近线方程为：2214xy的渐近线方程为：的渐近线方程为：2244xy2xy2xy2xy解：把方程化为标准方程可得:实半轴长虚半轴长半焦距焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:例:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。14416922xyxy34例题讲解45ace4a3b53422c191622xy12222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为例2、已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，顶点间的距离是16，离心率，求双曲线的标准方程，并求出它的渐近线方程。45e[思路探索]可设出双曲线的标准方程，依题意建立待定参数的方程或方程组求解．题型二根据双曲线的几何性质求标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线的渐近线的方程为2x±3y＝0且经过P(6，2)；(2)经过点P(3，－2)，离心率e＝52.解(1)法一设双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．∵双曲线过点P(6，2)，且点P在直线y＝23x的上方，∴m0，n0，即焦点在y轴上，又渐近线斜率k＝±23，∴6m－4n＝1，－n－m＝23，解得m＝－3，n＝－43.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.法二由于双曲线的渐近线方程是y＝±23x，所以可设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(6，2)．∴69－44＝λ，λ＝－13.∴故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由e＝52得，c2a2＝54①又点P(3，－2)在双曲线上，∴9a2－2b2＝1②又a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝1，b2＝14，若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由c2a2＝54和2a2－9b2＝1及a2＋b2＝c2，规律方法根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．首先，由已知判断焦点的位置，设出双曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求得．如本题中已知渐近线方程ax＋by＝0，可设所求双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常简捷．可得b2＝－172(舍去)．所以双曲线的焦点只能在x轴上，其方程为x2－4y2＝1.即x2－y214＝1.如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程方法一(几何法)矩形对角线所在直线方法二把双曲线标准方程中等号右边的1改为0,就得到了双曲线的渐近线方程反过来,能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢?这样的双曲线是否是唯一的?0byax22221xyab-=?探求:以为渐近线的双曲线有哪些?034yx?双曲线的渐近线方程为22221xyab-=xaby观察它们形式上的联系xaby已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程为当λ0时,当λ0时,当λ=0时,0byax2222byax,这里λ是待定系数双曲线焦点在x轴上双曲线焦点在y轴上即为双曲线的渐近线方程求证:渐近线方程为byxa的双曲线的方程可写成证明:直线bbyxyxaa与的交点为原点且它们关于x轴、y轴对称.∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上.⑴当焦点在x轴上,则方程可设为22221xymn.∴2222nbma,令22ma(0),则22nb∴双曲线的方程可写成2212211(0)xyab即22122(0)xyab的形式.⑵当焦点在y轴上,则方程可设为22221yxmn.∴2222mbna,令222na2(0),则222mb∴双曲线的方程可写成22222221(0)yxba即222222(0)xyab的形式.2222(0)xyab的形式.综上所述,原命题成立.【变式2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为y252－x2122＝1.(2)法一∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.例3已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.23yx注：称为与双曲线共渐近线的双曲线系方程（λ是参数）2222byax12222byax4与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；5与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)例3:求下列双曲线的标准方程：例题讲解2e(5,3)M23yx9(,1)2M⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率，经过点；⑶渐近线方程为，经过点．⑴法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)解:双曲线221916xy的渐近线为43yx,令x=-3,y=±4,因234,故点(3,23)在射线43yx（x≤0）及x轴负半轴之间,∴双曲线焦点在x轴上,∴设双曲线方程为22221xyab(a0,b0),∴222243(3)(23)1baab解之得22944ab,∴双曲线方程为221944xy4与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；法二：巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为,22(0)916xy22(3)(23)91614221944双曲线的方程为xy法一:直接设标准方程,运用待定系数法⑵解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(32)21abab解之得22128ab∴双曲线方程为221128xy根据下列条件，求双曲线方程:5与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2).法二：设双曲线方程为221164xykk16040kk且221128xy∴双曲线方程为22(32)21164kk∴,解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近线”的双曲线222222221(0)xyxyabab与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaab221492454xye巩固练习：1、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。.1916,91625,4455,1505.5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），，焦点为（得解：由1,1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与2、求与椭圆xy221681有共同焦点