2.3.2平面与平面垂直的判定定理(典型)

2.3.2平面与平面垂直的判定定理一、二面角的概念l半平面半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．l棱面面①②lAB二面角的画法和记法：二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCDAOlB二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.,OAlOBll[0。，180。]二面角的范围为：平面角是直角的二面角叫做直二面角，OAB例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.245°90°例2.在正方体AC1中，AB1C1DA1BCD1F求二面角A—B1C—B的正弦值;如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1－MC－A的正切值．ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：①找基面②找基面的垂线AA1③作平面角作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H平面ABCD解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在直角△AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=．15AMANAHMN5211tan5AAAHAAHback如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？二、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平互相垂直aa面面垂直的判定定理符号语言：aAB图形语言：作用：线面垂直面面垂直应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BCPAABCBCABC平面平面BCPAC平面PABCBCACPAACABCPBC平面平面PAC⊥平面PBC例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC练习例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：。平面PBD平面PACBDC正方形ABCD中，ABDPA平面ABCDBD平面ABCDPA平面PACBD平面PBDBDABDPCO例3：ABCD是正方形，边长为2，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，PO=√2，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥BDE.POABCDE如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体S—EFG中必有().(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFD练习（P69）⊥△EFG所在平面.故选A.练习：正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：111ACCAABD平面平面ABCDE90ABCDABADABCADCEBDAECABD练如图，是所在平面外一点，，，是的中点.求证：平面平面2：法二:取的中点，连接，往证面BCFEFPFEF//AB,EFBC取的中点，连接，，则PABC,EACPEACPAPB点为的中点，.EPEBC,.接下来往证一般转化为另外一组线面垂直的问题如何较为快速地找出思路呢？ABBCPEBC?)(将已知条件和要证的结论当作条件，看看能推出哪个线面垂直(BCPEAPBPEAA)B.EB垂直与两条直线，，但是和异面，得不出线面垂直结论.通过找和的平行线，将二者平移至相交即可得到一组线面垂直关系FBCPEF(此时发现面这个结论是正确，接下来只要证明这个结论成立即可.)PB=PCFBCPFBC又，为的中点，PFEF=FBCPEF.BCPE而，面P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1在三棱锥中，，90，求证面面PEACPEBCACBC=CPEABC.故由，，，面PEPACPACABC.面，面面