苏北数学建模联赛优秀论文-中国地质大学长城学院基础课教学部

第二届苏北数学建模联赛优秀论文抑制房地产泡沫问题的模型设计朱朝霞，邸苏闯，陈成（中国矿业大学，徐州221008）摘要:本文讨论了影响房地产价格的主要因素，找出了价格和其主要因素之间近似成线性关系，从而建立表示房地产价格的数学模型——多元线性回归模型，并对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房地产价格。建模过程中，首先用科学分析的方法，确定主要因素并对其作数学抽象，再针对各因素综合运用多种数学方法进行分析求解。第一，用概率论与数理统计的方法找出价格和各个因素之间的近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数；第三，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第四，通过该模型深入分析了影响房地产价格主要因素，提出了一些政策建议，把高的开发成本降下来，同时调整供给结构。第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。一问题重述所谓房地产泡沫直的是商品房售价远远超过起实际的价值。近几年来，我国各大城市房价出现了普遍的持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅度增加，导致许多低收入人群买房难，目前我国城镇居民的人均居住面积只有发达国家的一半左右，甚至低于不少发展中国家，居民不是没有住房需求，而是现有的货币支付能力无法使其去实现购房的愿望。尽管现在买房可以贷款，可以分期付款，但这也需要居民有相当好的收入水平，还要用好多年来供房直到中年甚至更晚才可以还清，一生中最好的时光就都交给了房子。因此如何有效地抑制价格上扬，甚至能够降低房价，是一个备受关注的社会问题。下面就就这个问题展开分析与建立数学模型，来研究如何有效的抑制房价上扬。二基本假设影响房价的因素有许多，房屋建造成本、市场供求关系、城市经济发展、城市规模、等等。现假设房屋价格与各个因素间的关系均为线性关系，且：（1）房屋建造成本用竣工房屋造价来代替。（2）城市经济发展用人均GDP来表示。（3）城市规模用建成区面积来表示。（4）市场供求关系通过消费者的支付能力竣工房屋价格来体现，而消费者的支付能力有通过在岗职工的平均工资来衡量。（5）房地产价格通过房屋均衡价格来表示（6）忽略消费者偏好如有无学校、绿化率、停车位、热水供应状态、通信、房屋建筑形式等对住房价格的影响。（7）忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对房价的影响。（8）忽略一些炒作对房价的影响。三基本符号、变量和用语A：表示人均GDP序列（元）B：表示在岗职工平均工资序列（元）C：表示竣工房屋造价序列（元/㎡）D：城乡人均储蓄余额序列/元Y：住房均衡价格指标序列，均衡价格(equilibriumprice)是指消费者对某种商品的需求量等于生产者所提供的该商品的供给量时的市场价格。均衡价格是由需求和供给两种力量共同决定的。它与吸纳率和交易价格有关。[1]t：为随机变量；Uy,Ua,Ub,UcＵd分别为Y,A,B,C,D序列的均值序列ΔY,ΔA,ΔB,ΔC,ΔD分别表示Y-Uy,A-Ua,B-Ub,C-Uc,D-Ud序列，即中心化序列2б：序列的方差1a,2a,3a,4a：模型参数S(a)：为残差的平方和n：统计城市数（样本数）R：中心化序列的协方差四建立模型并分析一、模型推导过程表一为我国12个主要城市住房均衡价格及其相关因素的统计表。依照此表我们可以求得各因素与住房均衡价格的相关系数进而判断各因素对房价的影响程度如表二所示。表一12个主要城市住房均衡价格及其相关因素的统计表[1]序号城市住宅均衡价格指标/元/㎡人均GDP/元建成面积km2非农业人口变化率在岗职工平均工资/元人均住宅面积/m城乡人均储蓄余额/元竣工房屋造价/元/㎡1北京3494.97198464880.0721405413.9721447.0320372天津1636.2159763780.041111238.612417.3810613石家庄1424.85104251080.14779833.168105.877674太原859.21106781770.076737812.2313147.177605呼和浩特872.577489790.1673466.226721.478666沈阳1655.62149892020.028851110.0313317.489787大连1935.43184292340.079102598.4513857.89788长春1222.49102611540.07386186.56949.5610879哈尔滨1502.9491421650.34575776.966957.2789710上海3119.62308055500.0521664114.9619778.24223211南京1934.31168161940.108119318.5910569.591012杭州2311.06199611710.147121876.5412054.161217同时可以求得各个因素序列的平均值，见附表一附表一各个因素序列的平均值住宅均衡价格指标/元/㎡人均GDP/元建成面积km2非农业人口变化率在岗职工平均工资/元人均住宅面积/m城乡人均储蓄余额/元竣工房屋造价/元/㎡平均1830.815401241.670.111103008.8512110.1149表二各因素与住房均衡价格的相关系数表人均GDP建成面积非农业人口变化率在岗职工平均工资人均住宅面积城乡人均储蓄余额竣工房屋造价相关系数r0.8480.824-0.2360.9100.7660.8360.894由表二可得，住房均衡价格与非农业人口变化率、人均住宅面积、建成面积的相关系数相对要小，所以这里我们忽略二者的影响，只考虑其他主要因素的影响，主要包括：人均GDP、在岗职工平均工资、竣工房屋造价、城人均储蓄余额等方面通过表一我们依次做出主要因素和住房均衡价格的关系图：样本城市住宅均衡价格与人均GDP关系图0500010000150002000025000300003500001000200030004000人均GDP/元住宅均衡价格/元/m2图1住宅均衡面积与在岗职工平均工资关系图0500010000150002000001000200030004000住宅均衡价格/元/m2在岗职工平均工资/元图2住宅均衡价格与竣工房屋造价关系图0500100015002000250001000200030004000住宅均衡价格/元/m2竣工房屋造价/元/m2图3住宅均衡价格与城乡人均储蓄余额关系图050001000015000200002500001000200030004000住宅均衡价格/元/m2人均储蓄余额/元图4由均衡房价和人均GDP、均衡房价和人均工资、均衡房价和竣工造价,均衡房价和居民平均储蓄的关系图可以看出，均衡房价和人均GDP、人均工资、竣工造价、居民平均储蓄存在着相依的关系，很容易想到用多元线性回归模型Y=1aA+2aB+3aC+4aD+…….+t表示因变量Y,对自变量A,B,C,D…….的相依性，其中1a,2a,3a,4a…….为参数模型特点如下：1、A、B、C、D….为一般变量，t为随机变量；2、Y为一般变量和随机变量的线形组合，Y序列的值既取决于A,B,C序列，又受制于t。如表三所示各序列t一般假定为白噪声序列，假定其服从均值为0，方差为2б的正态分布表三序号城市YABDC1北京3494.97198461405421447.0320372天津1636.2159761112312417.3810613石家庄1424.851042579838105.877674太原859.2110678737813147.177605呼和浩特872.57748973466721.478666沈阳1655.6214989851113317.489787大连1935.43184291025913857.89788长春1222.491026186186949.5610879哈尔滨1502.94914275776957.2789710上海3119.62308051664119778.24223211南京1934.31168161193110569.591012杭州2311.06199611218712054.161217将其中心化后得Y-Uy=1a*(A-Ua)+2a*(B-Ub)+3a*(C-Uc)+4a*(D-Ud)+t上式即为ΔY=1a*ΔA+2a*ΔB+3a*ΔC+4a*ΔD+t现在对模型的参数进行最小二乘法估计其中ΔY、ΔA、ΔB、ΔC、ΔD各序列（矩阵）的值见表四表四序号城市ΔYΔAΔBΔDΔC1北京1664.1974444.583753.339336.79887.332天津-194.573574.58822.33307.14-88.673石家庄-405.923-4976.42-2317.67-4004.37-382.674太原-971.563-4723.42-2922.671036.93-389.675呼和浩特-958.203-7912.42-2954.67-5388.77-283.676沈阳-175.153-412.42-1789.671207.24-171.677大连104.6573027.58-41.671747.56-171.678长春-608.283-5140.42-1682.67-5160.68-62.679哈尔滨-327.833-6259.42-2723.67-5152.97-252.6710上海1288.84715403.586340.3376681082.3311南京103.5371414.581630.33-1540.74-239.6712杭州480.2874559.581886.33-56.0867.33令a=(1a,2a,3a,4a)T,则a的最小二乘估计，应使残差t平方和S(a)达到最小，其中S(a)=nt12t=nt1(ΔYt-1a*ΔAt-2a*ΔBt-3a*ΔC-4a*ΔDt)2,取aS(a)=0即可得到：1aS(a)=nt12*(ΔYt-1a*ΔAt-2a*ΔBt-3a*ΔCt-4a*ΔD)*(-ΔAt)=0---------------------------式1用Rya表示序列ΔY和ΔA的协方差，Raa表示ΔA序列的方差，Rba,表示序列ΔB和ΔA的协方差，Rca表示序列ΔC和ΔA的协方差：式1可写成：-Rya+1a*Raa+2a*Rba+3a*Rca+4a*Rda=0-----------------------------式2同理2aS(a)＝o推出：-Ryb+1a*Rab+2a*Rbb+3a*Rcb+4a*Rdb=0-----------------------------式33aS(a)＝0推出：-Ryc+1a*Rac+2a*Rbc+3a*Rcc+4a*Rdc=0-----------------------------式44aS(a)＝0推出：-Ryd+1a*Rad+2a*Rbd+3a*Rcd+4a*Rdd=0-----------------------------式5把式2、式3，式4，式5写成矩阵相乘的形式为：RddRcdRbdRadRdcRccRbcRacRdbRcbRbbRabRdaRcaRbaRaa*4321aaaa=RydRycRybRya推求参数的公式为：4321aaaa=RddRcdRbdRadRdcRccRbcRacRdbRcbRbbRabRdaRcaRbaRaa*RydRycRybRya--------------式6具体到本题中，我们运用往年的统计数据对模型中各个参数的求解。经计算得各个协方差的值为：(利用matlab软件)Raa=38730662Rba=Rab=18250255Rca=Rac=2543343Rda=Rad=253270