5.4 不定积分的分部积分法

15.4不定积分的分部积分法2设，具有连续导数．根据乘积的微分公式)(xuu)(xvvvuuvuvdd)(duvuvvud)(dd即．，对上式两边积分，可得uvuvvudd．(4.4.1)式称为分部积公式．3这一公式说明，如果计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算．vudvud4为便于记忆，列表uvdxuvuvdx(+)uv()(,0)uvvdxc取uvdxuvuvdx横向　斜向　横向5常见分部积分列表uv被积函数vnaxxenxaxe1axeasincosnnxaxxaxnnxxsincosaxax1/cos1/sinaaxaaxlnlnnxxxlnlnxx1nx11/(1)nnxxsincosaxaxebxebx任意任意任意任意6常见分部积分列表uv被积函数varctanxxarctanxx212xarctanxarctanx1xarcsinxarcsinx1xarccosxarccosx1x7例1求．xxxdln解设，则，．所以xulnxxvddxxud1d221xvCxxx2241ln21.xxxxxxxxd121ln21dln228例2求.xxxdsinxxxxxxxdcoscosdsin解设，，则，，所以xuxxvdsindxuddxvcosCxxxsincos．9例3求．xxxdarctan解xxxdarctan)21d(arctan2xxxxxxxd121arctan21222xxxx)d111(21arctan2122Cxxxxarctan2121arctan212．10例4求．xxxde2)e(d2ede2e22xxxxxxxxx)e(dde22xxxxx解xxxxxxde2e2e2Cxxxe)22(2．11例5xxxdsine．解)e(dsindsinexxxxxxxxxxdcosesine)e(dcossinexxxxxxxxxxxdsinecosesine．12移项后，有1)cos(sinedsine2Cxxxxxx所以Cxxxxxx)cos(sine21dsine．下面列出应用分部积分法的常见积分形式及，的选取方法：uud131.，，xxxmdlnxxxmdarcsinxxxmdarctan(，为整数)应使用分部积分法计算．一般，设，而被积表达式的其余部分设为．1mmxxvmddu2.，，(，为正整数)应利用分部积分法计算．一般，设，被积表达式的其余部分设为．xaxxndsinxxxndcosxxaxnde0nnnxuvd14,.udvuvvdudv下列不定积分均可应用分布积分公式正确选择，完成填空22(1)sin,________(2),__________xxxdxdvxedxdv练习(cos)dx21()2xde1522(3)ln(1),________(4)arctan,__________(5)cos2,__________xxdxdvxxdxdvexdxdvdx31()3dx()xde16例6求．xxdarctan解设，则，．所以xt2txttxd2dtttxxdarctan2darctan)(darctan2tt(用分部积分法)tttttd1arctan22217tttt)d111(arctan22Cttttarctanarctan2．Cxxxxarctanarctan18求下列不定积分2(1)cos(2)arcsin(3)lnxxdxxdxxxdxsincosxxxC2arcsin1xxxC2311ln39xxxC练习