14空间向量在立体几何中的应用

设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行一、用空间向量处理“平行”问题设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直二、用空间向量处理“垂直”问题空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝_____________＝______直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝_____二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝_______________＝_______[0，π]|cos〈a，b〉|2．|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉||a·b||a|·|b|(0，π2]|a·n||a|·|n||n1·n2||n1||n2|]2,0[题型一求异面直线的夹角正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．【例1】[思路探索]可考虑建立空间直角坐标系，求出AE→，CF→的坐标，利用坐标运算求所求角的余弦值．解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，则AE→＝(－1，0，2)，CF→＝(1，－1，2)∴|AE→|＝5，|CF→|＝6.AE→·CF→＝－1＋0＋4＝3.又AE→·CF→＝|AE→||CF→|cos〈AE→，CF→〉＝30cos〈AE→，CF→〉∴cos〈AE→，CF→〉＝3010，∴所求值为3010.规律方法在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．【变式1】解(1)如图，建立空间直角坐标系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0，0，23)．(2)由(1)得，PA→＝(2，0，－23)，BC→＝(－2，－3，0)，∴cos〈PA→，BC→〉＝2×（－2）＋0×（－3）＋（－23）×04×13＝－1313，即PA与BC所成角的余弦值为1313.[思路探索]利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．题型二求线面角【例2】正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，法一取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连结AM、MC1，有MC1→＝(－32a，0，0)，AB→＝(0，a，0)，AA1→＝(0，0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，∴cos〈AC1→，AM→〉＝9a243a×3a2＝32.∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二AB→＝(0，a，0)，AA1→＝(0，0，2a)，AC1→＝(－32a，a2，2a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.规律方法用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．∴x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．∵AC1→＝(－32a，a2，2a)，∴cos〈AC1→，n〉＝n·AC1→|n||AC1→|＝－λ2|λ|.∴|cos〈AC1→，n〉|＝12.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.【变式2】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M(0，a2，2a)，C1(－32a，a2，2a)，B(0，a，0)，故AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，BC1→＝(－32a，－a2，2a)．设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则AC1→·n＝0，AM→·n＝0.∴－32ax＋a2y＋2az＝0，a2y＋2az＝0，令y＝2，则z＝－22，x＝0.∴n＝(0，2，－22)．又BC1→＝(－32a，－a2，2a)，∴cos〈BC1→，n〉＝BC1→·n|BC1→||n|＝－a－a3a×92＝－269.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BC1→，n〉|＝269.(12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值．题型三二面角的求法【例3】[规范解答]如图所示，取BC中点O，连结AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点为O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0).2分设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，AD→＝(－1，1，－3)，AA1→＝(0，2，0)．因为n⊥AD→，n⊥AA1→，得n·AD→＝0，n·AA1→＝0，得－x＋y－3z＝0，2y＝0，所以y＝0，x＝－3z.令z＝1，得n＝(－3，0，1)为平面A1AD的一个法向量．5分又因为AB1→＝(1，2，－3)，BD→＝(－2，1，0)，BA1→＝(－1，2，3)，所以AB1→·BD→＝－2＋2＋0＝0，AB1→·BA1→＝－1＋4－3＝0，【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点．而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性．所以AB1→⊥BD→，AB1→⊥BA1→，所以AB1⊥平面A1BD，所以AB1→是平面A1BD的一个法向量，8分所以cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n||AB1→|＝－3－32·22＝－64，10分所以二面角A­A1D­B的余弦值为64.12分【变式3】若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A­PB­C的余弦值．解如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故AP→＝(0，0，1)，AB→＝(2，1，0)，CB→＝(2，0，0)，CP→＝(0，－1，1)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AP→＝0，m·AB→＝0⇒（x，y，z）·（0，0，1）＝0，（x，y，z）·（2，1，0）＝0⇒⇒z＝0，2x＋y＝0，令x＝1，则y＝－2，故m＝(1，－2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则n·CB→＝0，n·CP→＝0⇒（x′，y′，z′）·（2，0，0）＝0，（x′，y′，z′）·（0，－1，1）＝0⇒2x′＝0，－y′＋z′＝0.令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝33.∴二面角A­PB­C的余弦值为33.空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．[思路分析]建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．解作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，【示例】如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，22，0)，D(－22，22，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1－24，24，0)．(1)证明MN→＝(1－24，24，－1)，OP→＝(0，22，－2)，OD→＝(－22，22，－2)．设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，由n·OP→＝0，n·OD→＝0，得22y－2z＝0，－22x＋22y－2z＝0.取z＝2，得n＝(0，4，2)．∵MN→·n＝(1－24)×0＋24×4＋(－1)×2＝0，∴MN→⊥n.又MN⊄平面OCD，∴MN∥平面OCD.(2)设异面直线AB与MD所成的角为θ.∵AB→＝(1，0，0)，MD→＝(－22，22，－1)，∴cos〈AB→，MD→〉＝AB→·MD→|AB→||MD→|＝－222＝－12.∴AB→与MD→所成的角为2π3.故异面直线AB与CD所成的角θ＝π－2π3＝π3.方法点评本题较好地体现了转化思想：空间线面的位置关系――→转化直线的方向向量、平面的法向量之间垂直或共线――→转化空间向量运算――→转化空间线面位置关系；空间角――→转化向量的夹角――→转化空间向量的运算――→转化空间角．