数项级数敛散性习题课

2020/1/261求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;nnba,(2020/1/262一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限12020/1/2633.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛2020/1/26411:;1()nnnnnnn判断级数敛散性例1解nnnnnnnnu)1(1,)11(21nnnnnnnnnnn122])11[(lim)11(lim2;10exxnnxn11limlim}ln1limexp{xxx}1limexp{xx;10e,01limnnu原级数发散．2020/1/265例2.11ln12的收敛性判定级数nn解故因),(1~11ln22nnn)11ln(limlim222nnunnnn根据极限审敛法,知所给级数收敛.221limnnn.12020/1/266例3.)πcos1(11的收敛性判定级数nnn解因为)πcos1(1limlim2323nnnunnnn22)π(211limnnnnn根据极限审敛法,知所给级数收敛..π2122020/1/267例4若级数均收敛,且证明级数收敛.证nnnnabac0,),2,1(n则由题设)(1nnnab收敛)(1nnnac收敛])[(1nnnnaac)(1nnnac1nna收敛2020/1/268解答提示:判别下列级数的敛散性:提示:(1),1limnnn11nn据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,,,0NP322题22020/1/269利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时,ln1110nn∴原级数发散.:2cos)3(132nnnn:)0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛.1s1a时发散.1a1a发散,收敛,2020/1/2610设正项级数和也收敛.提示:因,0limlimnnnnvu存在N0,又因)(222nnvu利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当nN时P323题32020/1/2611设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,nnnuvlim收敛,级数发散.nnn)1(lim11例如,取nnvnn1)1(P323题42020/1/2612;1ln)1()3(1nnnn讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;sin)1()2(1111nnnn提示:(1)P1时,绝对收敛;0p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛.故,111收敛nnP323题52020/1/261311ln)1()3(nnnn因单调递减,且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;2020/1/261411!)1()1()4(nnnnn因nnuu11)111(12nnnnn所以原级数绝对收敛.2020/1/2615敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收散，是否收判断级数1ln)1(nnnn例5解,1ln1nnn,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛．2020/1/2616,ln)1(1级数是交错nnnn由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim,01limxx,0ln11limln1limnnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf2020/1/2617,),1(上单增在,ln1单减即xx,1ln1时单减当故nnn),1()1ln()1(1ln11nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．2020/1/2618?1)1(,2112敛是绝对收敛还是条件收试问交错级数收敛设级数nuunnnnn例6),(2122baab利用不等式解11)1(22nununnn有,112122nun2020/1/2619均收敛，和因为121211nnnnu收敛，故12211nnnu由比较审敛法知，收敛，121)1(nnnnu即原级数绝对收敛．2020/1/2620?11,)1(,}{11是否收敛试问级数发散且级数单调减少设正数列nnnnnnnuuu例7,}{单调减少由于正数列nu解;0,limaaunn且存在故,)1(1发散而级数nnnu,)1((01收敛将得到否则由莱布尼兹审敛法蕴含了nnnua),与题设矛盾2020/1/2621,1110a于是有.111收敛即几何级数nna,aun又因为nnnau1111.111收敛故由比较审敛法知nnnu2020/1/2622二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:练习:P323题72020/1/26231解nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneunn)11()(01ne.)1,1(eee时,,1eRexe11即时原级数收敛.故收敛区间为2020/1/2624)()(lim1xuxunnn解因22x,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;2020/1/2625例8解分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径4121},min{RRR注意:类似地，P323题7(1)