梯度、散度、旋度表达式的推导

梯度，散度，旋度及曲线坐标系1.梯度(,,,)xyzt标量场表示：等值线（面）表示：梯度梯度表示场的不均匀性0(,,,)xyztC(,,,)xyzt(,)grad1.梯度a.均匀场：(,,,)xyztC即任何地方任何时刻均为常数b.定常场：(,,)xyzC即不随时间变化而变化1.梯度c.方向导数s方向上得方向导数为：'0(')()lim'MMMMMMsM处法线方向上的方向导数：'0'0'011()()(')()limlim'cos(')()limcos(,)'cos(,)MMMMMMMMMMnMMMMMMsnsMMns（条件：因为'MM极小，所以等值线可近似看作与法线垂直）1.梯度d.梯度概念梯度：gradnn所以是个矢量，其方向为等值面的法线方向e.grad,表示场的变化率均匀场0注意：若定常场的梯度为零，则其为均匀场。1.梯度f.eg222xyx,求（1，1）处法线方向解：令222xyx则由题可知222xyx=0所以可求得而为矢量，所以的方向即为（1，1）处法线方向1.梯度g.梯度的单位由定义可知(,)xnxnx所以ijkxyz上式即为在直角坐标系中的表示。h.性质drd证明：iidrdxdxdydzxxyz2.散度a.通量给定一矢量a(r,t)，在场内取一曲面S,它可以是封闭的也可以是不封闭的，在S面上取一面积元素dS,在dS上任取一点M,作S面在M点的法线，令n表示S面上法线方向的单位矢量，a表示M点上的矢量函数的值，则cos(,)cos(,)cos(,)nxyzaananxanyanz表示矢量a在法线方向上的投影。2.散度a.通量定义nadS为矢量a通过面积元dS的通量，将之沿面积S积分得nsadS。称为矢量a通过S面的通量。定义面积矢量dS大小为ds,方向为法线正方向的量，即dSdsn2.散度b.散度1）.定义0limvadSdivaaV注：1.S面为封闭曲面2.V的界面为S2.散度b.散度2)表示形式0limyxizviadSaaaadivaaVxyzx证明如下：()xxyyzzxxyyzzadSandSananandSandSandSandS2.散度b.散度2)表示形式又因为：xyzndSdydzndSdxdzndSdxdy所以上式就转化为：()xyzadydzadxdzadxdy2.散度b.散度2)表示形式利用高斯公式把面积分转化为体积分上式可得：()yxzaaadVxyz所以，最后可得00()limlimyxzyxizvviaaadVadSaaaaxyzaVVxyzx2.散度b.散度3）面积分与体积分的转换nadSadV注意点：1.n必须在最前面2.封闭积分3()andSadV3．旋度a.环量给定一矢量场a(r,t),在场内场内任取一曲线L，作线积分()xyzLLadradxadyadz称之为矢量a沿曲线L的环量。若L是一封闭曲线，我们在积分号中加一小圆圈，并称之为矢量a沿封闭回线L的环量。3．旋度b.旋度1)定义：矢量a的矢量旋度rota在n方向的投影：0limLnsadrrotaS注意：1）L为封闭曲线，即积分为封闭积分2）S的界面为L3．旋度b.旋度2)表示形式0limLnsxyzijkadrrotaaSxyzaaa证明如下：因为：()xyzLLadradxadyadz3．旋度b.旋度2)表示形式再由线积分转化为面积分可得：上式=[()()()]yyxxzzxyyLaaaaaannndSyzzxxy所以0limLsxyzijkadraSxyzaaa即0limLnsxyzijkadrrotaaSxyzaaa4.曲线坐标系a.曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系空间中任一点M在直角坐标系中是由（x,y,z）三个数唯一决定的。此时矢经r的表达式是：rxiyjzk但是我们也可以用另外三个数（q1,q2,q3）唯一决定M点。q1,q2,q3称为曲线坐标。4.曲线坐标系1)柱坐标在柱坐标系中，123,,qrqqz,r由0变到，由0变到2∏，z由变到，此时与直角坐标的函数关系是：cos,sin,xryrzz4.曲线坐标系2)球坐标在球坐标系中，123,,qrqq,r由0变到，由0变到∏，由0变到2∏，此时与直角坐标的函数关系是：sincos,sinsin,cosxryrzr4.曲线坐标系b.拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式给定曲线r=r(q1,q2,q3)（如图），欲求弧元素矢量dr,在曲线坐标中的表达式，显然123123rrrdrdqdqdqqqq4.曲线坐标系b.拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式irq的大小是：222111112222222222233333()()()()()()()()()rxyzHqqqqrxyzHqqqqrxyzHqqqq123,,HHH称为拉梅系数4.曲线坐标系b.拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式考虑到irq的大小和方向后，可得下式：111222333drHdqeHdqeHdqe这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们在坐标轴上的投影分别是：111222333,,dsHdqdsHdqdsHdq4.曲线坐标系b.拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式各面的侧面积为：123232313131212dHHdqdqdHHdqdqdHHdqdq六面体的体积为：123123dVHHHdqdqdq在柱坐标系中1231,,1HHrH在球坐标系中1231,,sinHHrHr4.曲线坐标系c.梯度在曲线坐标系中的表达式根据梯度的性质，grad在曲线坐标轴上的投影分别是该方向上的方向导数123,,sss，由此则可得梯度表达式：123112233111gradeeeHqHqHq4.曲线坐标系柱坐标中的形式：1rzgradeeerrz球坐标中的形式：11sinrgradeeerrr4.曲线坐标系d.散度在曲线坐标中的表达式经过六个面的总通量为：123231312123123()()()nsaHHaHHaHHadSdqdqdqqqq再根据散度的定义可得：123231312123123()()()1aHHaHHaHHdivaqqqHHH4.曲线坐标系柱坐标中的形式为：()11rzaraadivarrrz球坐标中的形式为：22(sin)()111sinsinraaradivarrrr4.曲线坐标系e.旋度在曲线坐标系中的表达式：在如上图的单元体中，我们首先计算矢量a沿MM2N1M3的环量：此时取n为q1的正方向；则：21322133133222323()()MMNMMMMNMMMNadradradradradraHaHdqdqqq4.曲线坐标系e.旋度在曲线坐标系中的表达式：根据旋度的定义可得rota在q1轴上的投影：332212323()()1()aHaHrotaHHqq同理可得：331121331221131212()()1()()()1()aHaHrotaHHqqaHaHrotaHHqq4.曲线坐标系e.旋度在曲线坐标系中的表达式：所以可得rota的表达式为：1122331231231122331HeHeHerotaHHHqqqHaHaHa4.曲线坐标系柱坐标中的形式为：1()11zrrzrzaarotarzaarotazrraarotarrr球坐标中的形式为：(sin)11sinsin()11sin()11rrraarotarrraarotarrrraarotarrr放映结束