梯度旋度散度

2020/1/261矢量、矢量场和梯度算子2020/1/26什么是矢量？2坐标变换yxABPO,xOABPyOBAP坐标系Oxyz任一点P的坐标：,xODyOE坐标系Ox’y’z’任一点P的坐标：EyxCDcossincossinOCOEECOAAPODOFDFOBBPcossinsincosxxyyxyzzcoscos2cos2cosxyxy坐标变换2020/1/26什么是矢量？3标量与矢量的定义定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述，并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量推论：如果a和b是两个标量，则a+b和ab也都是标量。cossinsincosxxyyxyzzAAAAAAAA例子：质量m、电荷q、温度、Newton时间t，etc.定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述，并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样，则称其为矢量。即推论：位矢是一个矢量矢量的表示:xyzAAAAxryz2020/1/26矢量运算4标量与矢量运算如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。设a、b为标量，推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量21,,,drdrrrvravrpmvdt其分量定义为,,xxyyzzABABABaAbB矢量的线性组合仍然是矢量力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论为矢量。AB、1.数乘：ABaA,,xyzaAaAaA其分量定义为2.矢量和：2020/1/26矢量运算5标量与矢量运算(续)推论：动能3.标量积：xxyyzzABABABABBA矢量的长度：222xyzAAAAAAA证明：cossincossinsincossincosxxyyzzxyxyxyxyzzxxyyzzABABABABAABBAABBABABABABAB/如果对于任意矢量212Tmv、功是标量Fdr是一个标量，则,xxyyzzAABABAB必是某个矢量的分量。,,xyzBBBB2020/1/26矢量运算6标量与矢量运算(续)4.矢量积：,yzzyxyzxxzxyyxzABABCCABCABABABABC证明：sincossincossincossincoscossinxyzzyxyzzxyxzyzzxzyxyCABABAABABBABABABABCC推论：角动量Lrp、力矩是（赝）矢量。rFABBA2020/1/26矢量运算7标量与矢量运算(续)标量积的几何意义：cosABAB证明：yx,,0xyBBBO,0,0AAcosxxyyzzxxABABABABABAB0000yzzyxyzxxzxyyxyyxzABABCCABABABABABABC,CAB矢量积的几何意义：大小为，即两个矢量张成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。θ为两个矢量之间的夹角：0sinAB2020/1/26矢量运算8单位基矢单位基矢：“完整”的矢量指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义ˆ,xAAx突出了矢量是坐标变换下得不变量yxˆxˆyyxOˆxˆyˆˆˆˆˆˆˆ,,satisfying1,0,ˆˆˆand,xyzxxxyxyz单位基矢的变换：ˆˆˆcossinˆˆˆsincosˆˆxxyyxyzzˆˆˆxyzAAxAyAzˆˆˆˆˆˆxyzxyzAAxAyAzAxAyAz2020/1/26矢量运算9矢量的混合积andABABABCABCABCABABC的大小为三个矢量所张成的平行六面体的体积，正负取决于这三个矢量是否满足右手法则确定。ABCBCACABABCBCACABABCACBBCACABCBACABˆˆˆ1xyz2020/1/26什么是场？10标量场及其几何表示标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的标量（数）代数表示：函数r几何表示：等值面、等值线const.r-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q2020/1/26什么是场？11矢量及其几何表示矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的矢量代数表示：函数Ar几何表示：箭头、场线drAdtˆˆ,Axyyxxyˆˆ,Bxyxxyyr22222ˆˆ,sincosAxyyxxyxctdxdtydxdyxxycdydtxdtdtyct2020/1/26梯度算子12场在空间某个方向上的变化率在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律ˆ,,,,,,xyzxyzxyzdrdxdydzndtndtndtnnndtndtdrdrrdxdydzxyznnndtxyzxyzdnnndtxyzn,,xyzφ在方向上的变化率方向导数ˆn2020/1/26梯度算子13场在空间某个方向上的变化率(续)是一个矢量场的三个分量,,xyzcossinsincosxxyyxyzzcossinsincosxxyyxyzz梯度算子ˆˆˆ,,orxyzxyzxyzˆnnφ在方向上的方向导数ˆnxx2020/1/26梯度算子14梯度算子梯度算子▽是一个矢量算子orororAAAAˆˆˆgraddivcurlyxzxyzxyzAAAAxyzA标量场梯度是一个矢量场：矢量场散度是一个标量场：矢量场旋度是一个矢量场：梯度算子是一个矢量微分算符：作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则作为算符，需作用于表达式中的所有对象,zyxAAAyz2020/1/26梯度算子15与位置有关的矢量微分公式证明：ˆ,3,0rrrrrrˆˆˆˆˆˆ30,xrrrxyzrrxyzxyzxyzrrrrxyzrxyzrzyyz2222222,2rxyzxxxxrxyz2020/1/26梯度算子16与梯度算子有关的一些矢量恒等式ˆdrrdrAAAAAAABABBAABBAABBAAB2020/1/26梯度算子17关于梯度算子恒等式的符号法证明例:用符号法证明证(1)视为“算符”，分别作用φ和ψ（加上下标以示区别），得两项：,(2)视φ矢和ψ为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕2020/1/26梯度算子18梯度算子补例:用符号法证明证(1)视为“算符”，分别作用φ和（加上下标以示区别），得两项：(2)视φ矢和A为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕AAAAAAAAAAAAAAAAAA0rrrr2020/1/26梯度算子19梯度算子补例:用符号法证明证(1)视为“算符”，分别作用A和B（加上下标以示区别），得两项：(2)视A矢和B为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕ABABABABABABBAAABBBBABABABABABABABABBA2020/1/26梯度算子20梯度算子补例:用符号法证明证(1)视为“算符”，分别作用A和B（加上下标以示区别），得两项：(2)视A矢和B为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕ABBAABBAABABABABABAAAAABBBBBABBAABBAABABBAABBAABABBAABBAAB2020/1/26梯度算子21场随空间的二阶变化A标量场梯度是矢量场：矢量场散度是标量场：AA矢量场旋度是矢量场：andAAand222222222222xxyyzzxyzxyzLaplace(标量)算符2222222xyz22A是一个矢量场，其分量为22xxAA①②③④⑤④2020/1/26梯度算子22场随空间的二阶变化0xyxyyxyxx0AAAAA矢量场的旋度是无源（散）场：标量场的梯度是无旋场：0A0⑤②③A标量场梯度是矢量场：矢量场散度是标量场：AA矢量场旋度是矢量场：andAAand①②③④⑤