矢量运算法则

电磁场与电磁波第1章矢量分析第1章矢量分析一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度七、重要的场论公式电磁场与电磁波第1章矢量分析一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：ˆ||AAa所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。||Aˆa2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、电场等FEv如：温度T、长度L等电磁场与电磁波第1章矢量分析例1：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？ˆ6xa图示法：ˆ6xaGNFfFxy力的图示法：FNfFFF电磁场与电磁波第1章矢量分析二、矢量的运算法则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：ABBAb.满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD电磁场与电磁波第1章矢量分析zoyx三个方向的单位矢量用表示。ˆˆˆ,,xyzaaa根据矢量加法运算：xyzAAAAˆˆˆ,,xxxyyyzzzAAaAAaAAa所以：ˆˆˆxxyyzzAAaAaAa在直角坐标系下的矢量表示:AxAyAzA其中：电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量：ˆˆˆxxyyzzAAaAaAa模的计算：222||xyzAAAA单位矢量：ˆˆˆˆ||||||||yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦：,,||cos,||cos,||cosAAAAAAzyxˆˆˆcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算：ˆˆˆ()()()xxxxyyyyzzzzABCABCaABCaABCazoyxAxAyAzA电磁场与电磁波第1章矢量分析2.减法：换成加法运算()DABABABCBAB逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算：ˆˆˆ()()()xxxyyyzzzABABaABaABa推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。电磁场与电磁波第1章矢量分析3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：0ˆ||00kkAkAakk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：||||cosABABBA两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。电磁场与电磁波第1章矢量分析•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即ˆˆˆˆˆˆ0,0,0ˆˆˆˆˆˆ1,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：ˆˆˆˆˆˆ()()xxyyzzxxyyzzABAaAaAaBaBaBazzyyxxBABABA•结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。ABBA()ABCABAC电磁场与电磁波第1章矢量分析推论1：不服从交换律：,ABBAABBA推论2：服从分配律：()ABCABAC推论3：不服从结合律：()()ABCABC推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：ˆ||||sincABABa•含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。BAˆca电磁场与电磁波第1章矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：ˆˆˆxyzxyzxyzaaaABAAABBBˆˆˆˆˆˆ()()xxyyzzxxyyzzABAaAaAaBaBaBaˆˆˆ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABABaABABaABABa两矢量的叉积又可表示为：xyzo电磁场与电磁波第1章矢量分析（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：()ABC矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：||||||sincosABCABC()ABC含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。ABChBC电磁场与电磁波第1章矢量分析注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCCˆˆˆˆˆˆ()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaABCAaAaAaBBBCCCb.矢量三重积：()()()ABCBACCAB()()()VABCCABBCAABChBC电磁场与电磁波第1章矢量分析例2：1234ˆˆˆˆˆˆ2,32ˆˆˆˆˆˆ23,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa求：4123rarbrcr中的标量a、b、c。解：ˆˆˆ325ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(2)(32)(23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaabaaacaaaˆˆˆ(22)(3)(23)xyzabcaabcaabca则：设213abc22332235abcabcabc电磁场与电磁波第1章矢量分析例3：已知ˆˆˆ263xyzAaaaˆˆˆ43xyzBaaa求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于、所在平面。ABˆnABaABˆˆˆˆˆˆ263151030431xyzxyzaaaABaaa1ˆˆˆˆ(326)7nxyzaaaa222||15(10)3035AB电磁场与电磁波第1章矢量分析已知A点和B点对于原点的位置矢量为和，求：通过A点和B点的直线方程。例4：ab()cakba其中：k为任意实数。(1)ckakbxyzCcABab解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则c电磁场与电磁波第1章矢量分析三、矢量微分元：线元、面元、体元例：d,d,dFlBSV其中：和称为微分元。d,dlSdV1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：ˆddyylyaˆˆˆddddxyzlxayazadldSˆddxxlxaˆddzzlza面元：ˆdddxxSyza体元：ddddVxyzˆdddyySxzaˆdddzzSxya电磁场与电磁波第1章矢量分析2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)rz线元：ddddrzlrarazadddrrSrzadddSrzadddzzSrraddddVrrz面元：体元：电磁场与电磁波第1章矢量分析3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)R2dsinddRRSRadsinddSRRadddSRRadddsindRlRaRaRa线元：面元：体元：2dsindddVRR电磁场与电磁波第1章矢量分析a.在直角坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅系数均为1，即：1321hhh1,,1321hrhhb.在柱坐标系中，坐标变量为,其中为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：(,,)rzdrac.在球坐标系中，坐标变量为，其中均为角度，其拉梅系数为：(,,)R,sin,,1321RhRhh注意：电磁场与电磁波第1章矢量分析在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。123(,,)uuu123,,hhh•体元：123123ddddVhhhuuu123112233ˆˆˆdddduuulhuahuahua•线元：112323ˆddduShhuua221313ˆddduShhuua331212ˆddduShhuua•面元：正交曲线坐标系：电磁场与电磁波第1章矢量分析四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。以温度场为例：热源等温面电磁场与电磁波第1章矢量分析b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：dˆgraddnan2.标量场的梯度a.方向导数：ddl空间变化率，称为方向导数。ddn为最大的方向导数。标量场的场函数为),,,(tzyx00dP1P2Pdndl电磁场与电磁波第1章矢量分析计算：dcosdndraddglddddddnlnldˆˆdnlaan在直角坐标系中：ddddxyzxyzˆˆˆddddxyzlxayaza所以：ˆˆˆgradxyzaaaxyz梯度也可表示：grad00dP1P2Pdndl电磁场与电磁波第1章矢量分析在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：ˆˆˆrzaaarrzˆˆˆsinRaaaRRR123112233ˆˆˆuuuaaahuhuhu在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：ˆˆˆxyzaaaxyz电磁场与电磁波第1章矢量分析五、矢量场的散度1.矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2.通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：dSvS若曲面为闭合曲面：dSvS+-电磁场与电磁波第1章矢量分析讨论：a.如果闭合曲面上的总通量0说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。电磁场与电磁波第1章矢量分析3.散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：0ddivlimSVFSFVc.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：FˆˆˆxxyyzzFFaFaFa1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddSSSFSFSFS电磁场与电磁波第1章矢量分析111ˆˆd()()xxxSFSFxayzazyxFx)(1222ˆˆd()xxxSFSFxayza在x方向上：计算穿过和面的通量为2S1S1()xFxxyz11()()()xxxFxFxxFxxx因为：221()d()xxSFxFSFxyzxyzx则：在x方向上的总通量：1212ddxSSFFSFSxyzx电磁场与电磁波第1章矢量分析在z方向上,穿过和面的总通量：5S6S5656ddZSSFFSFSxyzz整个封闭曲面的总通量：dyxzSFF