数列的通项公式与求和-2017年高考数学二轮核心考点总动员

-1-热点11数列的通项公式与求和【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，求数列通项公式主要考查构造法、叠加法、叠乘法及第n项与前n项和公式法，解答题主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为5至12分.【热点考向】考向一数列的通项公式【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出na的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1nfaann形式数列的通项公式问题，化为1()nnaafn，通过累加得na=112211()()()nnnnaaaaaaa=1(1)(2)(1)fnfnfa，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()nnaafn形式数列的通项公式问题，化为1()nnafna，通过累积得na=121121nnnnaaaaaaa=1(1)(2)(1)fnfnfa，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()nnapafn（其中p是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]nnaAfnpaAfn，由等比数列定义知{()naAfn}是公比为p的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()naAfn通项公式，再求出na的通项公式.（5）利用前n项和nS与第n项na关系求通项：对递推公式为nS与na的关系式(或()nnSfa)，利用)2()1(11nSSnSannn进行求解.注意na=1nnSS成立的条件是n≥2，求na时不要漏掉n=1即na=1S的情况，当1a=1S适合na=1nnSS时，na=1nnSS；当1a=1S不适合na=1nnSS时，用分段函数表示.例1．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，18】（本小题满分12分）设数列na的前n和为nS,已知111,21,nnaaSnN.（1）求出数列na的通项公式；-2-（2）求数列2nan的前n和为nT.【分析】（1）由和项求通项时，要注意分类讨论：当2n时,1nnnaSS，得13nnaa；当1n时,2111212133aSaa，（2）先根据绝对值定义知当3n时,132,nnbn而122,1bb，因此求和需分类讨论：122,3TT，当3n时,利用分组求和法得229132735113.1322nnnnnnnT【解析】（1）由题意得21121213aSa,当2n时,由1121212nnnnnaaSSa,得11213,3,3,nnnnaaaaanN.考向二数列求和【解决法宝】数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n和公式求前n项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式:①若na是各项都不为0公差为(0)dd的等差数列，则11nnaa=1111()nndaa-3-②na=11nn=1nn（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列na是公差为(0)dd的等差数列，{}nb是公比为(1)qq的等比数列，则在数列nnab的前项和nS=112233nnabababab=211121311nnababqabqabq①，两边同乘以公比q得nqS=231121311nnabqabqabqabq②，①式与②式错位相减得(1)nqS=221111211131211111()()()nnnnnnababqabqabqabqabqabqabq=21111(1)nnnabdqqqabq，转化为等比数列211,,,,nqqq，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．例2．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，18】已知等比数列na的前n项和为nS，公比0q，2222Sa，342Sa．（1）求数列na的通项公式；（2）设nbnna，求nb的前n项和nT．【分析】（1）确定等比数列通项公式，基本方法为待定系数法，两个独立方程可解两个未知数，涉及和项，一般利用作差转化为通项：3422aaa，进而可求出公比2q，回代可得12a（2）数列求和，首先分析通项特征，由于nb为等差乘等比型，所以利用错位相减法求和：注意项的符号变化、项的个数、最后结果形式，最好代入验证所求结果.-4-（2）由（1）知nnnb2……………7分nnnnnT221......2322211321432221......23222121nnnnnT.................9分错位相减1432221......2121212121nnnnT............11分nnnT222.....................12分例3．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，17】（本小题满分12分）数列na的前n项和nS满足12nnSaa，且123,1,aaa成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnnabSS，求数列nb的前n项和nT．【分析】（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即112=1nnnnassnasn，，而由122nnaan得数列成等比是不充分的，需强调每一项不为零，这就必须求出首项（2）因为11222222nnnnb，所以一般利用裂项求和：12112222nnnb，即233412111111222222222222nnnT-5-22211112222222nn【解析】（1）由已知12nnsaa，有12nnnassn，即122nnaan，即数列na是以2为公比的等比数列，又123,1,aaa成等差数列，即：13212aaaa，∴11114221,2,21nnaaaaan解得故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知122nnS，∴1121221122222222nnnnnnb，∴233412111111222222222222nnnT22211112222222nn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【热点集训】1.【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，4】已知nS为数列{}na的前n项和，若23a且12nnSS，则4a等于（）A．6B．12C.16D．24【答案】B【解析】由,322121112aaaaSS得31a，,12)(222123aaSS12,24234434SSaSS，故选B.2.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列na满足1123252325lg1nnnanannn，且15a，则数列23nan的第100项为（）A．2B．3C．1lg99D．2lg99【答案】B-6-3.【河南百校联盟2017届高三11月质检，5】已知正项数列na中，11a，22a，222112nnnaaa（2n），11nnnbaa，记数列nb的前n项和为nS，则33S的值是（）A.99B.33C.42D.3【答案】D【解析】222112nnnaaa（2n），∴数列2na为等差数列，首项为1，公差为2213．213132032nnnnnaana（）．＞．，1111313233231nnnbnnaann，故数列nb的前n项和为114174...313231133nSnnn则3313331133S.故选D．4.【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，5】记数列na的前n项和为nS，若31nnSa，则10a（）A．91032B．101032C.91032D．101032【答案】A-7-5.【安徽淮北一中2017届上学期第4次模拟,5】已知数列na满足1111,2nnnaaanN，则2017a（）A．100912B．201612C.201712D．100812【答案】D【解析】23456733111111,,,,,224422aaaaaa依此类推2017110082，故2017100812a.6.【天津六校2017届高三上学期期中联考，7】已知数列na满足：11a，12nnnaaa()nN．若11(2)(1)nnbna()nN，1b，且数列nb是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A．23B．32C．32D．23【答案】D-8-7.【山西省运城市2017届高三上学期期中，14】设数列na的前n项和为nS，已知2nnS，则na的通项公式为．【答案】12,12,1nnnan【解析】当1n时，112aS，当1n时，112nnnnaSS，所以通项公式为12,12,1nnnan8.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，16】在数列na及nb中，22221111,,1,1nnnnnnnnnnaababbababab．设112nnnncab，则数列nc的前n项和为_____________．【答案】224n【解析】nnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababababaa2)11(212112222221,同理易得：nnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababababa2)11(212-1b12222221，两式相加得：nnnnbab111a111，故}1a1{nnb为常数列，所以1nnn222c，所以数列nc的前n项和为224n.9.【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，16】设nS为数列na的前n项和，且满足112nnnnSa，则2a；1352017SSSS．【答案】14201811-132（）【解析】由nnnnaS21)1(，当1n时，有