第1讲圆的基本性质(学生版)

第一讲，圆的基本性质中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题知识点睛一、圆的基本概念圆的定义1．描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、垂径定理圆的对称性圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．⑴旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ard，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．重点：（1）揭示圆有关的本质属性（2）垂径定理的探索及其应用难点：垂径定理探索及其应用例题精讲一、圆的基本概念【例1】判断题：⑴直径是弦()⑵弦是直径()⑶半圆是弧()⑷弧是半圆()⑸长度相等的两条弧是等弧()⑹等弧的长度相等()⑺两个劣弧之和等于半圆()⑻半径相等的两个圆是等圆()⑼两个半圆是等弧()⑽圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R()【例2】下列判断中正确的是()A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例3】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOBAOB，则()A．''ABABB．''ABABC．AB的度数''AB的度数D．AB的长度''AB的长度【例4】如图，点ADGM、、、在半圆O上，四边形ABOCDEOFHMNO、、均为矩形，设BCa，EFb，NHc则下列格式中正确的是()A．abcB．abcC．cabD．bcaONMHGFEDCBAra2dOCBAAOODCBA二、垂径定理【例5】(2009年甘肃白银)如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为()A．5B．4C．3D．2【例6】(2006年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【例7】如图所示，在RtABC中90C，2AC，1BC，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB于P，则AP．【例8】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O⊙交于点GBFE、、、，8cmGB，1cmAG，2cmDE，则EF_________．【例9】已知O⊙的直径是50cm，O⊙的两条平行弦40cmAB，48cmCD，求弦AB与CD间的距离．【例10】在半径为1的O⊙中，弦ABAC、的长分别为3和2，则BAC的度数为________．【例11】如图，已知O⊙的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．【例12】⑴若O⊙中等于120的劣弧所对的弦长为123，则O⊙的半径是_______．⑵在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．⑶如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于CD、两点，42ABCD，，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．MOBAPCBAGOFEDCBAONMCBA【例13】如图，O⊙中，AB是直径，弦GEEFHFEF，，GEHF、交AB于CD、．求证：ACBD．OHGFEDCBA【例14】如图，MN、分别是O⊙中长度相等但不平行的两条弦ABCD、的中点．求证：AMNCNM．NMODCBA【例15】(09湖北荆门)如图，半径为25的O⊙内有互相垂直的两条弦ABCD、相交于P点．⑴求证：PAPBPCPD；⑵设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EFAD；⑶若86ABCD，，求OP的长．【例16】如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是AC的中点，MNAB于N，则MN与AC的关系是___________．家庭作业【习题1】如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试证明：ACBD．ODCBA【习题2】若O⊙中等于120的劣弧所对的弦长为123，则O⊙的半径是_______．【习题3】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．第23题图BDACEFOP【习题4】O⊙的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是__________．【习题5】(福州)O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【习题6】把正ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点'A上，若5BC，则折痕在ABC内的部分长为()A．533B．103C．1033D．52【习题7】(08郴州)已知在O⊙中，半径5r，ABCD、是两条平行弦，且86ABCD，，求AC的长．【习题8】(08沈阳)如图，AB是O⊙的弦，ODAB，垂足为C，交O⊙于点D，点E在O⊙上．⑴若52AOD，求DEB的度数；⑵若3OC，5OA，求AB的长．【习题9】(2008广东湛江)如图所示，已知AB为O⊙的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接ACOCBC、、．⑴求证：ACOBCD．⑵若8cm24cmEBCD，，求O⊙的直径．图9EDBAOCEBDCAO第21题图