第1讲：多项式理论及多项式除法

高一数学拓展讲座第1讲：多项式理论及多项式除法一、一元多项式理论多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。（一）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。3、多项式的整除因式分解的理论基础是因式定理4、多项式的因式分解中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。分解因式中的两个有用的结论：多项式的长除法PolynomialLongDivision介绍两个多项式的除法有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多项式与真分式的和。正如假分数可以通过除法化为整数与真分数之和：1341341334121例如322421432xxxxx748x242213238xxx假分式真分式多项式有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多项式与真分式的和。32432xxx2421xx4x2324xxx2713224xx782777248xx62348x余数商除数被除数多项式长除法的过程322421432xxxxx748x242213238xxx假分式真分式多项式32432xxx2421xx4x2324xxx2713224xx782777248xx62348x余数商除数被除数