2014年高三数学(理)2选修4-4 坐标系与参数方程

第1页选修4-4第1讲选修4－4坐标系与参数方程第2页选修4-4第1讲第1讲坐标系第3页选修4-4第1讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第4页选修4-4第1讲1.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．2.能在极坐标系中求简单曲线(如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆)的极坐标方程.第5页选修4-4第1讲1条重要思路解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．第6页选修4-4第1讲2个必记要点1.极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：x＝ρcosθy＝ρsinθ⇒ρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0.2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．第7页选修4-4第1讲3点必须注意1.极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的长度单位.2.若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．3.由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.第8页选修4-4第1讲课前自主导学第9页选修4-4第1讲1.极坐标系(1)极坐标的建立：在平面内取一个定点O，叫做________，自极点O引一条射线Ox，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．第10页选修4-4第1讲(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________，由此得ρ2＝________，tanθ＝________.第11页选修4-4第1讲平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极坐标呢？第12页选修4-4第1讲判断下列命题是否正确．(请在括号中填写“√”或“×”)①极坐标系中点M的极坐标是唯一的()②极坐标为(2，2π3)的点在第一象限()③极坐标系中，点(3，3π4)与点(3，－5π4)相同()第13页选修4-4第1讲2．常用简单曲线的极坐标方程曲线形状(特征)极坐标方程过极点且与极轴成α角的直线θ＝α(ρ∈R)过(a,0)且垂直于极轴的直线ρcosθ＝a过(b，π2)且平行于极轴的直线ρsinθ＝b过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)圆心在极点，半径为|r|的圆ρ＝r圆心在(r,0)，半径为|r|的圆ρ＝2rcosθ圆心在(r，π2)，半径为|r|的圆ρ＝2rsinθ第14页选修4-4第1讲解决极点或极坐标方程的策略是什么？第15页选修4-4第1讲判断下列命题是否正确．(请在括号中填写“√”或“×”)①过极点的射线l上任意一点的极角都是π3，则射线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ≥0)．()②过极点，倾斜角为π3的直线的极坐标方程为θ＝π3(ρ≥0)．()第16页选修4-4第1讲极坐标方程ρ＝2sinθ(ρ≥0,0≤θπ)表示的曲线的中心的极坐标________．第17页选修4-4第1讲1.极点极轴极径ρcosθρsinθx2＋y2yx(x≠0)想一想：提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点的极坐标不是一一对应关系，如果规定ρ0,0≤θ2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．判一判：①×②×③√第18页选修4-4第1讲2．想一想：提示：解决极点或极坐标方程的策略及运用极坐标或极坐标方程与直角坐标或直角坐标方程的互化公式，把极点或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程．判一判：①√②×填一填：(1，π2)第19页选修4-4第1讲核心要点研究第20页选修4-4第1讲例1[2012·辽宁高考]在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．第21页选修4-4第1讲[审题视点](1)将直角坐标方程化为极坐标方程，再求交点；(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐标，再写出公共弦的参数方程；或者先定义x＝1，再写出公共弦的参数方程．第22页选修4-4第1讲[解](1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．第23页选修4-4第1讲(2)解法一：由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t，－3≤t≤3.(或参数方程写成x＝1，y＝y，－3≤y≤3)第24页选修4-4第1讲解法二：将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ，－π3≤θ≤π3.第25页选修4-4第1讲直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．第26页选修4-4第1讲[变式探究](1)[2012·陕西高考]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．(2)[2012·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．答案：(1)3(2)3第27页选修4-4第1讲解析：(1)直线2ρcosθ＝1，即为2x＝1，且ρ＝2cosθ，即为(x－1)2＋y2＝1，如图可得弦长为3.(2)由极坐标下圆的方程ρ＝4sinθ，可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆．又θ＝π6(ρ∈R)表示直线y＝33x，∴由点到直线的距离公式可得d＝21＋332＝3.第28页选修4-4第1讲例2[2012·江苏高考]在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．第29页选修4-4第1讲[解]在ρsin(θ－π3)＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1.所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P(2，π4)，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.第30页选修4-4第1讲奇思妙想：本例条件不变，试求θ＝π3与圆C相交所截得的弦长．解：直线y＝3x，圆C为(x－1)2＋y2＝1，∴圆心到直线的距离d＝32.∴弦长＝21－322＝1.第31页选修4-4第1讲求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．第32页选修4-4第1讲[变式探究][2012·上海高考]如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π6.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.答案：1sinπ6－θ第33页选修4-4第1讲解析：如图所示，根据正弦定理，有ρsin5π6＝2sinπ－θ－5π6，∴ρ＝1sinπ6－θ.第34页选修4-4第1讲经典演练提能第35页选修4-4第1讲1.点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为()A.(2，π3)B.(2，4π3)C.(2，－π3)D.(2，－4π3)答案：C第36页选修4-4第1讲2.[2012·江西高考]曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．答案：ρ＝2cosθ第37页选修4-4第1讲3.[2013·东莞模拟]在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案：(2，3π4)第38页选修4-4第1讲解析：直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，曲线C：ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，如图，直线被圆截得弦AB，中点为M，则|OA|＝2，|OB|＝2，从而|OM|＝2，∠MOx＝3π4，∴点M的极坐标为(2，3π4)．第39页选修4-4第1讲4.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ|的最大值．解：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ.∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.第40页选修4-4第1讲又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cosθcosπ6＋sinθsinπ6)．∴x2＋y2－63x－6y＝0.∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.∴|PQ|max＝6＋6＋332＋32＝18.第41页选修4-4第1讲5.在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.第42页选修4-4第1讲直线l：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1.故直线l与圆O公共点的极坐标为(1，π2)．