第一章 线性规划与单纯形法

1第一章习题1.思考题（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？（7）如何进行换基迭代运算？（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？2.建立下列问题的线性规划模型：（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：表1-18产品ABC资源数量原料单耗机时单耗22.5335620002600利润101420另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。表1-19合金品种12345含铅%含锌%含锡%306010102070502030101080501040单价（元/kg）8.56.08.95.78.8如何安排配方，使成本最低？（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。2表1-20班次时间最少人数1234566:00－10:0010:00－14:0014:00－18:0018:00－22:0022:00－2:002:00－6:00607060502030假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？图1-63.用图解法求下列线性规划的最优解：0,425.1341264min)1(2121212121xxxxxxxxxxz0,825103244max)2(2121212121xxxxxxxxxxz0,605442223296max)3(21221212121xxxxxxxxxxxz0,112343max)4(21212121xxxxxxxxz331.41.41.734.把下列线性规划化为标准形式：无约束432143213214313210,,0132212min)1(xxxxxxxxxxxxxxxxxz无约束211212121,0218232max)2(xxxxxxxxxz5.判定下列集合是否凸集：（1）R1=｛(x1,x2)|x12+2x22≤2｝（2）R2=｛(x1,x2)|x12－2x2+3≥0,x2≥0,|x1|≤1｝（3）R3=｛(x1,x2)|x1x2≥1,x1≥1,x2≥0｝6.求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。5,,1,018231224853max521423121jxxxxxxxxxxzj7.求下列线性规划的解：（1）（2）0,182368253max21212121xxxxxxxxz0,14242max21212121xxxxxxxxz（3）（4）0,1222max21212121xxxxxxxxz0,0,0201026032max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxz48.利用大M法或两阶段法求解下列线性规划：（1）（2）0,217223max2121212121xxxxxxxxxxz0,,54218232max32132121321321xxxxxxxxxxxxxxz（3）（4）0,2631234max212212121xxxxxxxxxz0,,,1223615263343min4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxz9.对于问题0bmaxXAXCXz（1）设最优解为X*，当C改为C时，最优解为X，则0))((*XXCC。（2）如果X1，X2均为最优解，则对于α∈[0，1]，αX1+（1－α）X2均为最优解。10.用单纯形法求解问题2（4）（合理下料问题）。11.表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x4，x5，x6是松弛变量。表1-21cj22CBXBbx1x2x3x4x5x62x5x2x12141-12a21-1-1-2-a+8σj-1（1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。（2）要使上表成为最优表，a应满足什么条件？（3）何时有无穷多最优解？（4）何时无最优解？（5）何时应以x3替换x1？5第二章习题1.思考题（1）如何在以B为基的单纯形表中，找出B－1？该表是怎样由初始表得到的？（2）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？（3）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？（4）叙述互补松弛定理及其经济意义。（5）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用？（6）对偶单纯形法有哪些操作要点？它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？（7）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？2.已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基B及B－1。表2-21cj2-11000CBXBbx1x2x3x4x5x6000x4x5x63111-1112-1100010001σj2-1100002-1x4x1x210155-11/2-1/2-21/21/2σj3.某个线性规划的最终表是表2-22：表2-22cj01-200CBXBbx1x2x3x4x501-2x1x2x313/25/21/2100010001-1/2-1/2-1/25/23/21/2σj000-1/2-1/2初始基变量是x1，x4，x5。（1）求最优基B=（P1，P2，P3）；（2）求初始表。4.写出下列线性规划的对偶问题：6无约束321321321321321,0,013142423max)1(xxxxxxxxxxxxxxxz无约束432143132143214321,,0,0122224232min(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxznnjxnnjxnjxmmibxammibxamibxaxczjjjinjjijinjjijinjjijnjjj,,1,0,,1,,,1,0,,1,,,1,,,2,1,max(3)221121211111无约束njmixnjbxmiaxxczijjmiijinjijminjijij,,1,,10,,1,,1min(4)11115.已知线性规划70,,min32123232221211313212111332211xxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz（1）写出它的对偶问题；（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题；（3）引入人工变量，把问题化为等价模型：0,,)(max7127532322212116431321211176332211xxbxxxaxaxabxxxaxaxaxxMxcxcxcz再写出它的对偶问题。试说明上面三个对偶问题是完全一致的。由此，可以得出什么样的一般结论？6.利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：0,0,032242max321321321321xxxxxxxxxxxxz7.已知表2-23是某线性规划的最优表，其中x4，x5为松弛变量，两个约束条件为≤型。表2-23cjCBXBbx1x2x3x4x5x3x15/23/2011/2-1/2101/2-1/601/3σj0-40-4-2（1）求价值系数cj和原线性规划；（2）写出原问题的对偶问题；（3）由表2-23求对偶最优解。8.已知线性规划问题84,3,2,1,02263326368min314343214214321jxxxxxxxxxxxxxxxxzj（1）写出对偶问题；（2）已知原问题的最优解为X*=（1，1，2，0）T，求对偶问题的最优解。9*.已知线性规划无约束321321321321321,0,4163253234maxxxxxxxxxxxxxxxxz的最优解为X*=（0，0，4）T。（1）写出对偶问题；（2）求对偶问题最优解。10.用对偶单纯形法解下列各线性规划：0,,43232432min(1)321321321321xxxxxxxxxxxxz0,,10536423425min(2)321321321321xxxxxxxxxxxxz11.设线性规划问题njxmibxaxczjinjjijnjjj,,2,1,0,,2,1max11（2.41）的m种资源的影子价格为y1*，y2*，…，ym*。线性规划9njxmibxabxaxczjinjjijnjjjnjjj,,2,1,0,,20max11111（2.42）与（2.41）是等价的，两者有相同的最优解，请说明（2.42）的m种资源的影子价格为（y1*/λ，y2*，…，ym*），并指出这一结果的经济意义。12*.已知线性规划0,,0,4233222812min4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxz（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；（2）利用对偶原理求原问题最优解。13.线性规划0,,4262max32121321321xxxxxxxxxxxz的最优单纯形表如表2-24所示。表2-24cj2-1100CBXBbx1x2x3x4x520x1x56101013111101σj0-3-1-20（1）x2的系数c2在何范围内变化，最优解不变？若c2=3，求新的最优解；（2）b1在何范围内变化，最优基不变？如b1=3，求新的最优解；（3）增加新约束－x1+2x3≥2，求新的最优解；10（4）增加新变量x6，其系数列向量P6=21，价值系数c6=1，求新的最优解。14.某厂生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表2-25所示。表2-25甲乙丙原料数量AB6334554530产品价格415（1）建立使总产值最大的线性规划模型；（2）求最优解，并指出原料A，B的影子价格；（3）产品甲的价格在什么范围内变化，最优解不变？（4）若有一种新产品，其原料消耗定额为：A为3单位，B为2单位，价格为2.5单位，求新的最优计划。；（5）已知原料B的市场价为0.5单位，可以随时购买，而原料A市场无货。问该厂是否应购买B，购进多少为宜？新的最优计划是什么？（6