2013-2014学年高中数学 第二章 2.5(一)等比数列的前n项和(一)课件 新人教A版必修5

【学习目标】1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．【学法指导】1．推导等比数列前n项和公式的关键在于准确把握“错位相减，消除差别”的内涵．2．运用等比数列前n项和公式时，一定要注意“q＝1”与“q≠1”时必须使用不同的公式．3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝＝q≠1q＝1.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝a11－q(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.填一填·知识要点、记下疑难点a11－qn1－qa1－anq1－qna1a1q－13．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为()A.1－xn1－xB.1－xn－11－xC.1－xn1－x，x≠1n，x＝1D.1－xn－11－x，x≠1n，x＝1填一填·知识要点、记下疑难点C[问题情境]国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数研一研·问题探究、课堂更高效目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40g，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢？(将超过7000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢？怎样的等比数列才能应用这个公式呢？这一节我们就来学习等比数列的求和公式．研一研·问题探究、课堂更高效探究点一等比数列前n项和公式的推导探究1阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝.②由①－②得：(1－q)Sn＝.当q≠1时，Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝.研一研·问题探究、课堂更高效a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qna1－a1qna11－qn1－qna1综上所述，Sn＝，q＝1，q≠1当q≠1时，因为an＝a1qn－1.所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn＝na1，q＝1，q≠1.研一研·问题探究、课堂更高效a11－qn1－qna1a1－anq1－q探究2下面提供了两种推导等比数列前n项和公式的方法．请你补充完整．方法一由等比数列的定义知：a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.当q≠1时，由等比性质得：a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q，即＝q.故Sn＝＝a11－qn1－q.当q＝1时，易知Sn＝.研一研·问题探究、课堂更高效Sn－a1Sn－ana1－anq1－qna1方法二由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an得：Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q＝a1＋q·＝a1＋q·从而得(1－q)·Sn＝.当q≠1时，Sn＝；当q＝1时，Sn＝na1.研一研·问题探究、课堂更高效(a1＋a2＋…＋an－1)(Sn－an)a1－anqa1－anq1－q探究点二错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n2n}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，∴12Sn＝，∴Sn－12Sn＝，即12Sn＝＝.∴Sn＝＝.研一研·问题探究、课堂更高效122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋112＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1121－12n1－12－n2n＋11－12n－n2n＋12－12n－1－n2n2－n＋22n【典型例题】例1在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.研一研·问题探究、课堂更高效解由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝72，S6＝632，即a11－q31－q＝72，①a11－q61－q＝632.②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.可求得a1＝12，因此an＝a1qn－1＝2n－2.小结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．跟踪训练1设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.研一研·问题探究、课堂更高效解当q＝1时，Sn＝na1，∴S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；当q≠1时，a11－q31－q＋a11－q61－q＝2×a11－q91－q，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－12，或q3＝1(舍去)，∴q＝－342.例2已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．研一研·问题探究、课堂更高效解设此等比数列共2n项，公比为q.由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项，以q2为公比的等比数列，故所有奇数项之和为S奇＝a11－q2n1－q2＝85①同理可得所有偶数项之和为S偶＝a21－q2n1－q2＝170②②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.小结本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.研一研·问题探究、课堂更高效解∵a3·an－2＝a1·an，∴a1an＝128，解方程组a1an＝128，a1＋an＝66，得①a1＝64，an＝2，或②a1＝2，an＝64.将①代入Sn＝a1－anq1－q＝126，可得q＝12，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝a1－anq1－q＝126，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝12或2.例3求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．研一研·问题探究、课堂更高效解分x＝1和x≠1两种情况．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－xn1－x2－nxn＋11－x.综上可得Sn＝nn＋12x＝1x1－xn1－x2－nxn＋11－xx≠1且x≠0.小结一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．研一研·问题探究、课堂更高效解(1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.(3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，研一研·问题探究、课堂更高效(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a，又1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.综上，Sn＝1a＝0n2a＝11－2n－1an1－a＋2a－an1－a2a≠0且a≠1.1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于()A.n[－1n－1]2B.－1n＋1＋12C.－1n＋12D.－1n－12练一练·当堂检测、目标达成落实处解析Sn＝－1[1－－1n]1－－1＝－1n－12.D2．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()A．179B．211C．243D．275练一练·当堂检测、目标达成落实处解析∵q4＝a5a1＝1681＝(23)4，∴q＝23，∴S5＝a1－a5q1－q＝81－16×231－23＝211.B3．在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝______.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析当q＝1时，S3＝3a3，符合题意，此时a1＝32；当q≠1时，由S3＝92，a3＝32，得a11－q31－q＝92①a1q2＝32②由①÷②得2q2－q－1＝0，∴q＝－12.∴a1＝a3q2＝3214＝6.32或64．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝______________.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n·2n＋1∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.(n－1)·2n＋1＋21．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．练一练·当堂检测、目标达成落实处