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专题三三角函数3.1三角函数的图象与性质-3-热点1热点2热点3热点4三角函数的性质【思考1】求三角函数周期、单调区间的一般思路?【思考2】求某区间上三角函数最值的一般思路?-4-热点1热点2热点3热点4例1已知函数f(x)=23sin(π-x)cosx-1+2cos2x,其中x∈R,则下列结论正确的是()A.f(x)图象的一条对称轴是x=π2B.f(x)在区间-π3,π6上单调递增C.f(x)是最小正周期为π的奇函数D.将函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数f(x)的图象-5-答案：B解析：由题意,f(x)=23sinxcosx+cos2x=3sin2x+cos2x=2sin2𝑥+π6,当x=π2时,fπ2=2sinπ+π6=-1,不是f(x)的最值,故选项A错;当x∈-π3,π6时,2x∈-2π3,π3,2𝑥+π6∈-π2,π2,故选项B正确;f(-x)=2sin-2𝑥+π6=-2sin2𝑥-π6≠-f(x),则f(x)不是奇函数,故C错;将函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数f(x)=2sin2𝑥+π6=2sin2𝑥+π3,故选项D错.-6-热点1热点2热点3热点4题后反思1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等变形,把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)的形式,再求解.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.2.对于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=𝑎2+𝑏2sin(ωx+φ)cos𝜑=𝑎𝑎2+𝑏2,sinφ=𝑏𝑎2+𝑏2的形式来求解.-7-热点1热点2热点3热点4对点训练1(2017全国Ⅱ,文3)函数f(x)=sin2𝑥+π3的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.π2答案：C解析：由题意可知最小正周期T=2π2=π,故选C.-8-热点1热点2热点3热点4三角函数图象的变换【思考】对三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象进行了平移或伸缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?例2函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.-9-答案：π3解析：因为y=sinx-3cosx=2sin𝑥-π3,所以函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移π3个单位长度得到.-10-热点1热点2热点3热点4题后反思1.平移变换理论(1)平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1𝜔倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变).2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.-11-热点1热点2热点3热点4对点训练2将函数y=2sin2𝑥+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2𝑥+π4B.y=2sin2𝑥+π3C.y=2sin2𝑥-π4D.y=2sin2𝑥-π3-12-答案：D解析：由已知周期T=π,右移14T=π4后得y=2sin2𝑥-π4+π6=2sin2𝑥-π3的图象,故选D.-13-热点1热点2热点3热点4由三角函数的图象求其解析式【思考】依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么?例3函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.𝑘π-14,𝑘π+34,k∈ZB.2𝑘π-14,2𝑘π+34,k∈ZC.𝑘-14,𝑘+34,k∈ZD.2𝑘-14,2𝑘+34,k∈Z-14-答案：D解析：不妨设ω0,由函数图象可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π𝜔=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图象可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f34=cos3π4+𝜑=-1,解得3π4+φ=2kπ+π(k∈Z),解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cosπ𝑥+π4.令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cosπ𝑥+π4的单调递减区间为2𝑘-14,2𝑘+34(k∈Z).结合选项知选D.-15-热点1热点2热点3热点4题后反思1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由图象上特殊点的坐标来确定φ,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.-16-热点1热点2热点3热点4对点训练3函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2𝑥-π6B.y=2sin2𝑥-π3C.y=2sin𝑥+π6D.y=2sin𝑥+π3-17-答案：A解析：由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).方法一:因为函数图象过点π3,2,所以2=2sin2×π3+𝜑.所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2𝑥-π6,故选A.方法二:因为函数图象过点-π6,-2,所以-2=2sin2×-π6+𝜑,所以2×-π6+φ=2kπ-π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z.令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2𝑥-π6.故选A.-18-热点1热点2热点3热点4三角函数的图象与性质的综合应用【思考】如何求给定区间上函数y=Asin(ωx+φ)的最值?例4已知函数f(x)=23sin𝑥2+π4cos𝑥2+π4-sin(x+π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.-19-解(1)∵f(x)=3sin𝑥+π2+sinx=3cosx+sinx=232cos𝑥+12sin𝑥=2sin𝑥+π3,∴f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f𝑥-π6=2sin𝑥-π6+π3=2sin𝑥+π6.∵x∈[0,π],∴x+π6∈π6,7π6,∴当x+π6=π2,即x=π3时,sin𝑥+π6=1,g(x)取得最大值2.当x+π6=7π6,即x=π时,sin𝑥+π6=-12,g(x)取得最小值-1.-20-热点1热点2热点3热点4题后反思对于给定区间上函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的最值问题,常用的方法是:首先要求出(ωx+φ)的取值范围,然后将(ωx+φ)看作一个整体t,利用y=Asint的单调性求解.另外借助函数y=Asin(ωx+φ)的图象求最值也是常用方法.-21-热点1热点2热点3热点4对点训练4已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.-22-解(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin2𝜔𝑥+π4,所以f(x)的最小正周期T=2π2𝜔=π𝜔.依题意,π𝜔=π,解得ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2𝑥+π4.函数y=sinx的单调递增区间为2𝑘π-π2,2𝑘π+π2(k∈Z).由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为𝑘π-3π8,𝑘π+π8(k∈Z).-23-1.求三角函数的周期、单调区间及判断其奇偶性的问题,常通过三角恒等变换将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式.2.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(ω0)的图象时,需平移的单位数应为𝜑𝜔,而不是|φ|.-24-3.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0)的性质主要有:(1)奇偶性,当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数;(2)周期性,y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π𝜔;(3)单调性,由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)得单调递增区间,由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)得单调递减区间;(4)对称性,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得对称中心,令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z),求得对称轴.4.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.-25-1.(2017山东,文7)函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π答案：C解析：因为y=3sin2x+cos2x=232sin2𝑥+12cos2𝑥=2sin2𝑥+π6,所以其最小正周期T=2π2=π.-26-2.(2017天津耀华中学高三模拟)函数y=Asin(ωx+φ)𝜔0,|𝜑|π2,𝑥∈R的部分图象如图所示,则函数表达式为()A.y=-4sinπ8𝑥-π4B.y=-4sinπ8𝑥+π4C.y=4sinπ8𝑥-π4D.y=4sinπ8𝑥+π4答案：B-27-3.把函数y=sin5𝑥-π2的图象向右平移π4个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为()A.y=sin10𝑥-3π4B.y=sin10𝑥-7π2C.y=sin10𝑥-3π2D.y=sin10𝑥-7π4-28-答案：D解析：先将原函数的图象向右平移π4个单位,得到函数y=sin5𝑥-π4-π2=sin5𝑥-7π4的图象;再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到函数y=sin10𝑥-7π4的图象.-29-4.(2017全国Ⅱ,文13)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案：5解析：因为f(x)=2cosx+sinx=525cos𝑥+15sin𝑥=5sin(x+φ)(其中tanφ=2),所以f(x)的最大值为5.-30-5.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.答案：7解析：由sin2x=cosx,可得cosx=0或sinx=12,因为x∈[0,3π],所以x可取的值为π2,3π2,5π2,π6,5π6,13π6,17π6,共7个.故交点个数为7.