江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件文

§6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.等比数列的定义一般地，如果一个数列___________________________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的.知识梳理从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比qa1·qn－1等比中项4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝1an，{a2n}，{an·bn}，anbna11－qn1－q＝a1－anq1－q.qn－mak·al＝am·an6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.qn等比数列{an}的单调性(4)当q0时，{an}为摆动数列.(1)满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列.(2)满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列.(3)当a1≠0，q＝1时，{an}为常数列.知识拓展思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()××××考点自测1.(教材改编)等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝___.答案解析1412a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，14∴q3＝18，∴q＝12.2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是____(填序号).①任何两个实数都有等比中项；②两个正数的等比中项必是正数；③两个负数的等比中项不存在；④同号两数必存在互为相反数的两个等比中项.答案解析④①一正数、一负数没有等比中项；②两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；③两个负数a，b的等比中项为±；所以①、②、③错误，易知④正确.ab3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝____.根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案解析634.(教材改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝___.由S6＝4S3，答案解析3所以a11－q61－q＝4a11－q31－q，所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝_____.设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，答案解析S5S2－11∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.题型分类深度剖析题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝____.由{an}为等比数列，得a3a5＝，又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.答案解析1412a24a2414q312(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝______.答案解析5254Snan2n－1∵a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴a1＋a1q2＝52，①a1q＋a1q3＝54，②由①除以②可得1＋q2q＋q3＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，12∴an＝2×(12)n－1＝42n，∴Sn＝2×[1－12n]1－12＝4(1－12n)，∴Snan＝41－12n42n＝2n－1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.思维升华跟踪训练1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝___.答案解析314显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝_____.由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案解析3n－1题型二等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.解答(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1).②①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，证明∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.思维升华跟踪训练2已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；证明12由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋).1212又a1＋12＝32，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列.1232所以an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an32.证明由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝32(1－13n)32，所以1a1＋1a2＋…＋1an32.题型三等比数列性质的应用例3(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝____.因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案解析50(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝____.答案解析S6S3＝12S9S334方法一∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.由a11－q61－q÷a11－q31－q＝12，得q3＝－12，∴S9S3＝1－q91－q3＝34.方法二∵{an}是等比数列，且，∴公比q≠－1，∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，S6S3＝12将S6＝12S3代入得S9S3＝34.等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.思维升华跟踪训练3(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lgan}的前4项和等于____.前4项和S4＝lga1＋lga2＋lga3＋lga4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，∴S4＝lg100＝2.答案解析2(2)(2016·南通一调)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6的值为_____.答案解析方法一由等比数列的性质得，q2＝＝4，所以q＝±2.S4－S2S2由S2＝3，解得q＝2，a1＝1，或q＝－2，a1＝－3.所以S6＝a11－q61－q＝1×1－261－2＝63或S6＝a11－q61－q＝－3×[1－－26]1－－2＝63.方法二由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63.63典例(14分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式.(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.分类讨论思想在等比数列中的应用思想与方法系列1332(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*).规范解答思想方法指导课时作业1.(教材改编){an}，{bn}都是等比数列，那么下列正确的序号是______.①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列.{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列.设{an}，{bn}的公比分别为p，q，答案解析③因为an＋1bn＋1anbn＝an＋1an·bn＋1bn＝pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列.12345678910111213142.(2016·江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为___.答案解析43∵a4a6＝a25，∴a4a5a6＝a35＝3，解得∵a1a9＝a2a8＝a25，1353.a∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3a1a2a8a94433534loglog3.3a12345678910111213143.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝_____.答案解析14设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a