高中立体几何典型500题及解析(六)(251~300题)

自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(六)(251~300题)251.已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.证：用反证法.假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.(1)若b∥c,∵c∥a,∴a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；(2)若b∩c＝P,∵bβ，∴P∈β.又∵cα，∴P∈α.∴P∈α∩β而α∩β＝a.∴P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.说明本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.252.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1和1BD的中点分别是E、F.(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.解析：(1)连接ED1、EB，则显然ED1＝EB＝25a又F为BD1之中点.自助家教网海量教学资源，免费下载∴EF⊥BD1；连接FA1，FA.∵F为正方体的中心，∴FA＝FA1，又E为AA1之中点，∴EF⊥A1A.故EF为AA1与BD1的公垂线段.(2)在RtΔEFD1中EF＝2121FDED＝aaa22434522.故AA1到BD1间的距离是a22.评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.253.如图所示，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝21BC，GF＝21SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝21a,EA＝EB＝23a,EF＝22)21(ABEA＝22a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.自助家教网海量教学资源，免费下载说明异面直线所成角的求法：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.254.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足MBAM＝NBCN＝QDAQ＝PDCP＝k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)解析：(1)∵MBAM＝QDAQ＝k∴MQ∥BD，且MBAMAM＝1kk∴BDMQ＝ABAM＝1kk∴MQ＝1kkBD又NBCN＝PDCP＝k∴PN∥BD，且NBCNCN＝1kk∴BDNP＝CBCN＝1kk从而NP＝1kkBD∴MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.(2)∵MABM＝k1，NCBN＝k1∴MABM＝NCBN＝k1,MABMBM＝11k∴MN∥AC，又NP∥BD.自助家教网海量教学资源，免费下载∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.∵MNPQ是正方形，∴∠MNP＝90°∴AC与BD所成的角为90°，又AC＝a，BD＝b，ACMN＝BABM＝11k∴MN＝11ka又MQ＝11kb,且MQ＝MN，1kkb＝11ka，即k＝ba.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能.假设b∥c,∵c∥a,∴a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾.所以b与c不能平行，又b、c不相交所以b,c是异面直线.256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.257.如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是()A.1715B.21C.178D.23自助家教网海量教学资源，免费下载解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1F＝D1F1，则ADF1F是平行四边形，∴FA∥DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E∥FA，则∠BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝411BA，ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴E1E＝417A1B1，又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.∴E1E＝417A1B1，EB＝21A1B1在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝11221212BEEEBEBEEE＝1715.∴应选A.258.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.23B.1010C.53D.52解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知∠PNC就是AM与CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆为直角三角形，且BP＝41，自助家教网海量教学资源，免费下载BN＝21，BC＝1，故PN2＝(41)2+(21)2＝165，CN2＝(21)2+12＝45，PC2＝(41)2+12＝1617，在ΔPCN中cos∠PNC＝CNPNPCCNPN2222，所以cos∠PNC＝52，因此应选D.259.已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析：过P点分别作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′的夹角为50°，由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a′,b′成30°角的条数，就是所求的条数.画图可知，过P点与a′、b′成30°角的直线只有两条.∴应选B.260..若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为3的直线有()A.二条B.二条或三条C.二条或四条D.二条、三条或四条解析：D261.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.求证：①对角线AC、BD是异面直线，②EF和HG必交于一点，且交点在AC上.解析：①提示：用反证法，或者用判定定理.②提示：先证EH∥FG，EH＜FG，设FE∩GH＝0又0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.∴O在平面ADC和平面ABC的交线AC上.262.如果直线a垂直于直线b，那么直线a与平行于直线b的任意一条直线b′互相垂直解析：在a上任取一点A，过A作b1∥b，则a与b1垂直.自助家教网海量教学资源，免费下载∵b∥b′，b∥b1∴b1∥b′∴直线a与b1和a与b′所成的角相等.∴a⊥b′263.在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.解析：过P作C1D1的平行线EF，连DE、CF.264.异面直线l1、l2，它们之间的距离为1，所成角是3，它们的公垂线是AB，A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE＝BF＝1，求EF的长.解析：如图，用异面直线l1、l2作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.①EF的长即是正方形PEE′F的对角线长，为2.②侧面GFEE''的对角线EF'，用勾股定理得EF'＝2，即为所求.265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.记a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,∵a∩b＝A,∴a、b确定平面α.∴B∈b,C∈a.∴B、C∈α.自助家教网海量教学资源，免费下载∴BCα，即cα，同理dα从而a、b、c、d共面(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.∴a与A可确定平面α.∵B∈a.∴B∈α，于是bα.同理，cα，dα.从而a、b、c、d共面.266.正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。232解析：易知ADBC11//，故ACBD11与两条体对角线相交，设交点为O（如图），则BOCAOB或即为所成的角。设正方体棱长为1，则ABAC1123，，BC1，所以tgBAC122，而BOCBAC21，故tgBOC222122222()，即cos221119BOCtgBOC，sinsin289232BOCBOC自助家教网海量教学资源，免费下载267.长方体ABCDABCD1111中，BCCDDD2214251，，，则ACBD111和所成角的大小为______________。60解析：如图所示，将BD11平移到AF1，则在AFC1中AFACCFFACFAC11122212372372231260；；，故cos()268.根据叙述作图，指出二面角-l-的平面角，并证明．（1）已知∩=l，A∈l（图9-39）．在内作PA⊥l于A，在内作QA⊥l于A．自助家教网海量教学资源，免费下载图9-39（2）已知∩=l，A∈，lA（图9-40）．作AP⊥于P，在内作AQ⊥l于Q，连结PQ．图9-40（3）已知∩=l，A，A（图9-41）．作AP⊥于P，AQ⊥于Q，l∩平面PAQ=H，连结PH、QH．解析：（1）PA，QA，PA⊥l，QA⊥l，∴∠PAQ为二面角的平面角．（2）∵AP⊥，∴PQ为AQ在平面内的射影，∵AQ⊥l，根据三垂线定理，有PQ⊥l，∴∠AQP为二面角的平面角（如图答9-35）．（3）∵AP⊥，∴AP⊥l，∵AQ⊥，∴AQ⊥l，∴l⊥平面PAQ，∵PH·QH平面PAQ，∴l⊥PH，l⊥QH，∴∠PHQ为二面角的平面角（如图答9-36）．自助家教网海量教学资源，免费下载269.如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵AC=AD，∴AE⊥CD．∵BC=BD，∴BE⊥CD，∴∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．270.若二面角-l-的一个半平面上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面的距离的2倍，则这个二面角的大小为（）．A．90°B．60°C．45°D．30°解析：D．作AH⊥交于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴∠ABH为二面角-l-的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴∠ABH=30°．271.下列命题中正确的是（）．A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则⊥B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则⊥C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则⊥D．若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则⊥解析：C．内的直线l垂直内的相交直线a、b，则l⊥．∵l，∴⊥．自助家教网海量教学资源，免费下载272.设两个平面互相垂直，则（