高中立体几何典型500题及解析(四)(151~200题)

自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(四)(151~200题)151.．已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）A．32B．32C．35D．322解析：C如图，1DGD为所求的二面角的平面角。GCDBA可利用求cos求出DG的长度，则所求函数值可求。152.与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________．解析：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符合题意要求，这样的截面共有8个；ABDCA1B1D1C1自助家教网海量教学资源，免费下载153.已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.解析：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点．当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分当0a1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．．154.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,233D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.ABCDPQABCA1B1C1D自助家教网海量教学资源，免费下载（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，.2321ACBE在Rt△B1BE中，.32332311BEBBBEBtg∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=,323323AFSVVCBBCBBAABBC1111111131.827233)323321(31即三棱锥C1—ABB1的体积为.827…………15分解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，11111111111CBAABAACABBCBAAABBVVVSS.827233)3434(313121111AASCBA即为三棱锥C1—ABB1的体积．155.已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=3，当三棱锥A—BCD的体积最大时，求二面角B—AC—D的余弦值．解析：如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道（1）BED即二面角B—AC—D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当AF面BCD时，VA—BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分自助家教网海量教学资源，免费下载这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-2)2(AC=1-422FCAF=1-87)431(211)41(211)(21122222BDFDADAF，又BE2=ED2，∴cos752222BEEDBDEDBED．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分AEBFDC156.有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．（1）求BD的距离；（2）求证AC，BD交于一点且被这点平分．解析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．（1）解：因为AE，EF，EB两两垂直，自助家教网海量教学资源，免费下载所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）证明：因为ADEF，EFBC，所以ADBC．所以ACBD在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被这点平分157.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且).10(ADAFACAE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？自助家教网海量教学资源，免费下载证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.………………………………3分又),10(ADAFACAE∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴,660tan2,2ABBD,722BCABAC由AB2=AE·AC得,76,76ACAEAE故当76时，平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分158.设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图,3:4:,65cosPBPAABC求直线PB和平面PAC所成角的大小3030,21525sin,,,9025cos3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角和面是面面又即的直径是则设PACPBBPCxxBPCBPCRtPACPBBPCPACBCBCPAABCPAACBCACBOABxABCxBCxPBxABxPA159.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别为棱A1D1，A1B1，AB，BB1的中点，求证：平面PQS⊥平面B1RC.(12分)证明：连结BC1交B1C于O，则O为BC1的中点自助家教网海量教学资源，免费下载连结RO，AC1，∵R是AB的中点∴RO∥AC1∵P,Q分别为A1D1，A1B1的中点，易知A1C1⊥PQ∴AC1⊥PQ（三垂线定理）RCBPQSRCBROPQSROPQSACACOS1111面面面又面面同理证160.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D，E、F分别为AD、BC的中点，O为正方形的中心，求折起后∠EOF的大小证明：过F作FM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，则M，N分别为OC、AO的中点解析：12018060,,//,,//:120,21coscos2,43,22,42)(424122222222EDGEOFDDCDDCaDCDDDCABCDOACDODACBDDCEOGDCOGGDAFOCDEOEOFEOFEOFFOEOFOEOEFEOFaMNFMENEFaMNaFMaENaACAN为正三角形即平面为直二面角于交延长另证中在设正方形的边长为161.如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。（2）求二面角B1—MA—C的正切值。（14分）解析：自助家教网海量教学资源，免费下载AMOBMAOOBOBMOMODBMBaMBaMOaOBaACOBACBO11122121111,23,23,26,,,:面则设正方体的棱长为方法一方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AM⊥A1N∴AM⊥B1O（三垂线定理）（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OH⊥AM于H点，连结B1H，∵B1O平面MAC，∴∠B1HO就是所求二面角B1—MA—C的平面角.5tan,1030,211HOOBHOBBHORtHOMOACAMHO中在162.在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1∥平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE；（3）求二面角B—C1D—E的余弦值。（14分）解析：ECPBCCPCCPPCCECPBBECBABBCCECBBCCBADECBDDECEFDECBDBDEFFCDDC11111111111111111111111111,,.,,)2(.//,,,//,)1(的中点时为当事实上的中点为此时点即可于交作故保要过平面面面面面则于交连自助家教网海量教学资源，免费下载即为所求由余弦定理中在的平面角即为二面角则连结则连结平面平面平面从而322cos:2126,23,.,,,,,,)3(.,2222111111111111EFBBEBCCFBFCFCEEFBEFEDCBEFBDCEFDCBFBFECEDBCBDBCBDDECPBAPBAEC163.如图，立体图形V-ABCD中，底面是正方形ABCD，其他四个侧面都是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数．解：设底面边长为a，则侧面三角形的边长也为a．取AB的中点E，DC中点F，连VE、EF．∵侧面△VAB是正三角形，∴VE⊥AB．又EF∥BC，BC⊥AB，∴EF⊥AB．∠VEF就是V-AB-C的平面角．cos∠VEF＝33232)23()23(222aaaaa．164.已知二面角-l-是45°角，点P在半平面内，点P到半平面的距离是h，求点P到棱l的距离．自助家教网海量教学资源，免费下载解：经P作PB⊥于B，经P在平面内作PA⊥l于A．连AB，则AB⊥l．∠PAB就是二面角的平面角，∠PAB＝45°．那么在Rt△PAB中，PB＝h，PA＝2h．165.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．证明：如图PQ⊥，PQ⊥AB，PR⊥，PR⊥AB，则AB⊥面PQR．经PQR的平面交、于SR、SQ，那么AB⊥SR，AB⊥SQ．∠QSR就是二面角的平面角．因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，因此∠P＋∠QSR＝180°．166.一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O，沿它的一条对角线AC对折，使BO⊥DO，这时二面角B-AC-D是多少度？要使二面角B-AC-D为60°，点B和D间的距离应是线段BO的几倍？自助家教网海量教学资源，免费下载解：因ABCD是菱形，故AC⊥BD．沿对角线AC折为空间图形后BO⊥AC，DO⊥AC．∠BOD就是二面角B-AC-D的平面角．因BO⊥OD，故∠BOD＝90°，即二面角B-AC-D是90°．要使二面角B-AC-D为60°．因BO＝OD，故△BOD是等边三角形，此时BD＝BO．167.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．证法一：利用定义法经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．因底是正方形，故CD＝DA．△CE