曲边梯形的面积

曲边梯形的面积问题提出1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数.3.如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题.xyaby＝f(x)O探究：曲边梯形面积的算法思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？xy1y＝x2O直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的是曲边梯形.平面多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段..,,25.1,直线段的所有边都是直边图形而前者有一边是曲线段别是的主要区直边图形梯形与中的曲边图可以发现?25.1,)(,.,,中阴影部分面积呢求图逼近曲边梯形的方法比如矩形能用直边形是否也的思想启发我们以直代曲这种的面积利用多边形面积求出圆用多边形逼近圆的方法我们曾经在过去的学习中25.1图ox1y2xyS..:.,,.,.,1,0,35.1实施这种方法们通过下面步骤来具体我法求出曲边梯形的面积形面积和逼近的思想方用化归为计算矩也即近似程度就会越来越好细随着拆分越来越可以想象曲边梯形面积的近似值得到每个小曲边梯形的面积小替代近似的面积即用矩形以直代曲一个小曲边梯形对每拆分为一些小曲边梯形进而把曲边梯形许多小区间分成把区间如图35.1图ox1y2xyn1ini思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小梯形，具体如何操作？,1,1,,2,1,1,0:,11,0nnnnnnn个小区间将它等分成个点上间隔地插入在区间轴的个点作分别过上述x1n垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形123,,,nSSSS它们的面积分别为1=niiSS则所求面积为1、分割35.1图ox1y2xyn1ini35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,,xxf,ni,n1i,xΔ,n,35.1.xxf22235.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.n,,2,1in1n1ixΔn1ifSΔSΔ,,SΔSΔ,ni,n1i,.45.12'iii'i则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲思考3：上述n个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？xyOy＝x21即第i个矩形的高为，每个矩形的宽为.21()iihn-=1n21,1,2,,,11.1()hiiiinnniixnnnin第i个区间为区间长度为第i个矩形高为思考4：计算，这n个小矩形的面积之和Sn等于多少？xyOy＝x21'11212222231111111110121nnniiiniiSSfxninnnnnnnnnn3、求和思考4：计算，这n个小矩形的面积之和Sn等于多少？222(1)(21)126nnnn+++++=L又（1-）(2-)32(1)(21)6(1)(21)1116nn6nnnnSnnnn--\=--==xyOy＝x2122222231(01234)nSnn11112.6nSSnn思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？1111limlim(1)(2)63nnnSSnn==--=55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo,,0,,limnnnnxSSSS可以看到即即4、取极限思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤?分割→近似代替→求和→取极限.思考7：若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？1lim3nnSS==y＝x2xyO1思考8：若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？相等1122310,],[,],[,],[,1]nnnnnnn-éêëLxyOy＝x21p42练习例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.解：(1)分割在区间［0，2］上等间隔地插入n-1个点，将区间［0，2］等分成n个小区间：2n12240,,,,,2nnnn［］，［］［］2i12i(i1,2,n)nn［，］，2i12i2xnnn记第i个区间为其长度为分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：ΔS1,ΔS2,…，ΔSnnii1SS则＝例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.当n很大，即Δx很小时，在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部范围内“以直代取”，则有ΔSi≈ΔSi′2i12inn［，］(2)近似代替2i222i12i12s2()()nnn8i1(i1)[)]nnn＝［］(3)求和2nnn2ni23i1i1i122223238i1(i1)8SS[)][ni1i1nnnn88012(n1)(12n1)nnnn1n1n2n188n2n614114(1)(1)(2)n3nn＝］［］［］(4)取极限nnn141184SlimSlim[4(1)(1)(2)]4n3nn33＝例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.例2、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形ABCD是矩形，CDE是抛物线的一段.在工程的设计中，要计算开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面积.试根据图中所给的数据计算这个截面的面积.解：如图建立平面直角坐标系，可得抛物线的方程为xy21yx4(4x4)4先求曲边三角形CEO的面积.第一步：分割分点把区间［0,4］分成n个小区间，过各个分点作x轴的垂线，把整个图形分成n个小曲边梯形，它们的面积记为ΔS1,ΔS2…ΔSn.012in4424ix0,x,xxx4.nnn，，把区间［0,4］n等分，各分点的坐标依次为第二步：近似代替.取每个小区间右端点对应的函数值为小矩形的高，宽为可得ΔSi≈f(xi)·Δxi.第三步：求和.求出这n个小矩形的面积的和214i()44ni4x,nn22i18n12n114i4S{[()4]164nn3.n}＝nii2nni18n12n1Slimf(x)xlim163n163216.33＝［］2ABCD32112S2S822m.33矩形＝第四步：取极限设CEO的面积为S，则小结作业2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限.1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.3.上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.作业、1、求直线x＝0，x＝3，y＝0与曲线y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积.2、课时练