曲边梯形的面积及定积分定义

微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？1.5.1曲边梯形的面积直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？xyO1为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)演示当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值演示nnxfxfxfxf)()()()(332211分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面方案“以直代曲”的具体操作过程（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作niiSS1ni21.S,,S,,S,S则（2）近似代替n1)n1i(x)n1i(f'SS2ii（3）求和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if('SS22223n1i2n1in1iin（4）取极限。积为即所求曲边三角形的面，所以时，亦即当分割无限变细，即3131)2n11)(n11(31S31)n12)(n11(61)12n(n)1n(61n1])1n(210[n1)n(0xlimlim00322223xnxS分割近似代替求和取极限y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2if(i)12f(1)f(2)f(i)xi•在[a,b]中任意插入n1个分点．•得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．•把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．•任取i[xi1，xi]，以f(i)xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．•区间[xi1,xi]的长度xixixi1．•曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(．分割近似代换求和取极限（类似方法求汽车行驶的路程）•曲边梯形的面积近似为：niiixf1)(．)(lim1ininfnabSbxxxxxabaxfnii110],[)(上连续，用分点在区间如果函数niiniiiiifnabxfnixxnba111)()(),,,2,1(],[],[作和式上任取一点间个小区间，在每个小区等分成将区间badxxfbaxfn即记作上的定积分，在区间这个常数叫做函数某个常数，时，上述和式无限接近当,)(],[)()(lim)(1ininbafnabdxxf叫做被积式。叫做积分变量，叫做被积函数，函数叫做积分区间，积分上限。区间分别叫做积分下限和和这里，dxxfxxfbaba)()(],[定积分badxxf)(的几何意义：如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分badxxf)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。的值。算利用定积分的定义，计例1031dxx3)(xxf解：令(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：),,,2,1](,1[nininii个区间为记第nninix11其长度为(2)近似代替、作和nininnnixnifSdxx1311031)()(则取),,,2,1(niniiniin1341224)1(411nnn2)11(41n）取极限（241)11(41limlim2103nSdxxnnn定积分的性质:)()()(1为常数）（kdxxfkdxxkfbababababadxxfdxxfdxxfxf)()()]()([22121）（)()()()(3bcadxxfdxxfdxxfcabcba其中）（422212213103,356,37,415,412dxxdxxdxxdxx已知例2132412203)23()3(6)2(31dxxxdxxdxx）求（3033023030,481,9,29,3dxxdxxxdxdx已知30333023)1512218()2()8634()1(dxxxxdxxxx求作业同学们再见！回家好好复习总结！