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-2-高考命题规律1.高考命题的完全考题,常与解三角形解答题交替在第17题呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.-3-等差、等比数列的判定与证明高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=𝑎𝑛𝑛.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.-4-解:(1)由条件可得an+1=2(𝑛+1)𝑛an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得𝑎𝑛+1𝑛+1=2𝑎𝑛𝑛,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得𝑎𝑛𝑛=2n-1,所以an=n·2n-1.-5-2.(2017全国Ⅰ·17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得𝑎1(1+𝑞)=2,𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=-23+(-1)n2𝑛+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2𝑛+3-2𝑛+23=2-23+(-1)𝑛2𝑛+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.-6-3.(2014全国·17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.分析:题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明bn+1-bn=2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出{bn}的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可求数列{an}的通项公式.-7-(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是∑𝑘=1𝑛(ak+1-ak)=∑k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.-8-新题演练提能·刷高分1.(2018安徽江南十校3月联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.(1)证明:原式转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2].注意到S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}为首项为4,公比为2的等比数列.-9-(2)解:由(1)知:Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=4(1-2𝑛)1-2+𝑛(𝑛+1)2-2n=2𝑛+3+𝑛2-3𝑛-82.-10-2.(2018吉林长春质量监测二)已知数列{an}的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列{bn}的前10项和S10.(1)证明:∵an=2n-11,∴an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{an}为等差数列.(2)解:由(1)得bn=𝑎𝑛=|2n-11|,∴当n≤5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n≥6时,bn=|2n-11|=2n-11.∴S10=[55-2(1+2+3+4+5)]+[2(6+7+8+9+10)-55]=50.-11-3.(2018福建福州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,①-②得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×2-2𝑛-1×21-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.-12-4.(2018广西柳州、南宁第二次联考)设a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)由题知𝑏𝑛+1+2𝑏𝑛+2=2𝑏𝑛+2+2𝑏𝑛+2=2,又∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.-13-(2)由(1)可得bn+2=4×2n-1,故bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)=2+22(1-2𝑛-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).-14-等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.-15-2.(2018全国Ⅲ·17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)𝑛3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.-16-3.(2017全国Ⅱ·17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②联立①和②解得𝑑=3,𝑞=0(舍去),𝑑=1,𝑞=2.因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.-17-4.(2016全国Ⅰ·17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.13解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=𝑏𝑛3,因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1-13𝑛1-13=32−12×3𝑛-1.-18-5.(2016全国Ⅱ·17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2𝑛+35.-19-(2)由(1)知,bn=2𝑛+35.当n=1,2,3时,1≤2𝑛+352,bn=1;当n=4,5时,2≤2𝑛+353,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2𝑛+354,bn=3;当n=9,10时,4≤2𝑛+355,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.-20-6.(2016全国Ⅲ·17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.𝑎𝑛2解:(1)由题意得a2=12,a3=14.(2)(等比数列的定义、通项公式)由𝑎𝑛2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=12.故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12𝑛-1.-21-新题演练提能·刷高分1.(2018北京城六区一模)设等差数列{an}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求使Sn35成立的n的最小值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,d≠0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以𝑎32=a2·a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去).所以{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为an=2n-3,所以Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛(𝑎2+𝑎𝑛-1)2=n2-2n.依题意有n2-2n35,解得n7.故使Sn35成立的n的最小值为8.-22-2.(2018广东东莞二模)已知等比数列{an}与等差数列{bn},a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn100,求n的最小值.解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,则2𝑞=2+2𝑑,𝑞2=1+3𝑑,解得𝑑=0,𝑞=1(舍)或𝑑=1,𝑞=2,∴an=2n-1,bn=n.-23-(2)由(1)易知Sn=1-2𝑛1-2=2n-1.Tn=𝑛(𝑛+1)2.由Sn+Tn100,得2n+𝑛(𝑛+1)2101,∵2𝑛+𝑛(𝑛+1)2是单调递增数列,且26+6×72=85101,27+7×82=156101,∴n的最小值为7.-24-3.(2018四川南充三诊)已知{an}是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2an,求数列{bn