2019年高考数学(文)专题复习习题课件：5.3 立体几何解答题

5.3立体几何解答题-2-高考命题规律1.高考必考考题.主要以多面体为载体,考查空间位置关系的判定与性质、求几何体的体积、面积、距离等.2.解答题,12分,中等难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.-3-空间中平行、垂直关系的证明高考真题体验·对方向1.(2017山东·18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.-4-证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD.所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.-5-2.(2017江苏·15)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.-6-证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.-7-新题演练提能·刷高分1.(2018江苏六市二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),且∠ABE=∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.求证:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;(2)BC∥平面AEF.-8-证明:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1.∵AF⊥CC1,∴AF⊥BB1.又∵AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,∴BB1⊥平面AEF,又∵BB1⊂平面BB1C1C,∴平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)∵AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE=∠ACF,AB=AC,∴Rt△AEB≌Rt△AFC,∴BE=CF,又由(1)知,BE∥CF.∴四边形BEFC是平行四边形,从而BC∥EF.又∵BC⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴BC∥平面AEF.-9-2.(2018江西质量监测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,M为线段CC1上的一点,且AC=1,BC=CC1=2.(1)求证:AC⊥B1M;(2)若N为AB的中点,若CN∥平面AB1M,求三棱锥M-ACB1的体积.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵AC⊥CC1,AC⊥BC,CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BB1C1C,∵B1M⊂平面BB1C1C,∴AC⊥B1M.-10-(2)解:当M为CC1中点时,CN∥平面AB1M,理由如下:∵CM=12CC1,∴CM􀱀12BB1,取AB1中点E,连接NE,ME,∵N,E分别为AB,AB1中点,∴NE􀱀12BB1,∴CM􀱀NE,∴四边形CMEN为平行四边形,∴CN∥ME,∵CN⊄平面AMB1,ME⊂平面AB1M,∴CN∥平面AB1M,∵𝑆𝐵1𝑀𝐶=12CM·BC=1,∴𝑉𝑀-𝐴𝐶𝐵1=𝑉𝐴-𝐶𝑀𝐵1=13𝑆𝐵1𝑀𝐶·AC=13.-11-3.(2018广东惠州4月模拟)如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ACED的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.-12-(1)解:∵D,E分别是AB,BC边的中点,∴DE平行且等于AC的一半,DE⊥BC,DE=1.依题意,DE⊥EF,BE=EF=2.于是有𝐷𝐸⊥𝐵𝐶𝐷𝐸⊥𝐸𝐹𝐸𝐹⋂𝐸𝐶=𝐸𝐸𝐹,𝐸𝐶⊂平面𝐶𝐸𝐹⇒DE⊥平面CEF.∵DE⊥平面CEF,∴平面ACED⊥平面CEF.过F点作FM⊥EC于点M,则平面𝐴𝐶𝐸𝐷⊥平面𝐶𝐸𝐹,且交线为𝐶𝐸𝐹𝑀⊥𝐸𝐶𝐹𝑀⊂平面𝐶𝐸𝐹⇒FM⊥平面ACED,∵∠CEF=60°,∴FM=3,-13-∴梯形ACED的面积S=12(AC+ED)×EC=12×(1+2)×2=3,∴四棱锥F-ACED的体积V=13Sh=13×3×3=3.-14-(2)证明:如图,设线段AF,CF的中点分别为N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ􀱀12AC,于是𝐷𝐸􀱀12𝐴𝐶𝑁𝑄􀱀12𝐴𝐶⇒DE􀱀NQ⇒DEQN是平行四边形⇒DN∥EQ.又𝐸𝐶=𝐸𝐹∠𝐶𝐸𝐹=60°⇒△CEF是等边三角形.∴EQ⊥FC.由(1)知DE⊥平面CEF,EQ⊂平面CEF.∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ.于是𝐴𝐶⊥𝐸𝑄𝐹𝐶⊥𝐸𝑄𝐴𝐶⋂𝐹𝐶=𝐶𝐴𝐶,𝐹𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐹⇒EQ⊥平面ACF.-15-∴DN⊥平面ACF,又∵DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.-16-4.(2018北京西城模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,PA⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=AD,E为AD的中点.(1)求证:PA⊥CD.(2)求证:平面PBD⊥平面PAB.(3)在平面PAB内是否存在M,使得直线CM∥平面PBE,请说明理由.12-17-(1)证明:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,∴PA⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.-18-(2)证明:由已知,BC∥ED,且BC=ED,∴四边形BCDE是平行四边形,又CD⊥AD,BC=CD,∴四边形BCDE是正方形,连接CE,则BD⊥CE.又BC∥AE,BC=AE,∴四边形ABCE是平行四边形,∴CE∥AB,∴BD⊥AB,由(1)知PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,又PA∩AB=A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAB.-19-(3)解:当M为直线AB,CD的交点时,有CM∥平面PBE.理由如下:在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD,∴四边形ABCD为梯形,∴AB,CD必定相交,设交点为M.由(2)知四边形BCDE是正方形,∴CM∥BE,又CM⊄平面PBE,BE⊂平面PBE,∴CM∥平面PBE.故平面PAB内存在M,使得直线CM∥平面PBE,且M为直线AB,CD的交点.12-20-几何体的体积与距离问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.2-21-解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.所以OM=253,CH=𝑂𝐶·𝑀𝐶·sin∠𝐴𝐶𝐵𝑂𝑀=455.所以点C到平面POM的距离为455.-22-2.(2017全国Ⅰ·18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.83-23-(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13AB·AD·PE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC2sin60°=6+23.-24-3.(2017全国Ⅱ·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.12-25-(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)解:取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=142x.-26-因为△PCD的面积为27,所以12×2x×142x=27,解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2×(2+4)2×23=43.-27-4.(2017全国Ⅲ·19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.-28-(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.(2)解:连接EO.由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=12AC.又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.-29-5.(2016全国Ⅲ·19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.-30-(1)证明:由已知得AM=23AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN