2019年高考数学一轮总复习(理)专题28 平面向量的数量积及应用

第四章三角函数、平面向量与复数第28讲平面向量的数量积及应用【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．【基础检测】1.已知向量a，b，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是()A.π6B.π4C.π2D.π3B【解析】∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，|a|2－|a||b|cosθ＝0，∴2－22cosθ＝0，cosθ＝22，所以θ＝π4，故选B.2.若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足：CM→＝16CB→＋23CA→，MA→·MB→＝()A.－1B.－2C.2D.3B【解析】因为MA→·MB→＝CA→－CM→·CB→－CM→＝13CA→－16CB→·－23CA→＋56CB→＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2，故选B.3.已知向量a＝(2，1)，向量b＝(3，4)，则a在b方向上的投影为______.2【解析】因为a·b＝10，b＝5，所以a在b方向上的投影为a·bb＝105＝2.4.已知向量m＝(3，1)，n＝(0，－1)，k＝(t，3).若m－2n与k共线，则t＝______.1【解析】由已知可得m－2n＝(3，3)，由两向量共线的充要条件可得3×3＝3×t，解得t＝1.故答案为t＝1.【知识要点】1．两向量的夹角已知非零向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．a与b的夹角的取值范围是___________．当a与b同向时，它们的夹角为______________；当a与b反向时，它们的夹角为____________；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0.[0，π]0π|a||b|cosθ3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，____________；当θ为直角时，它是零．a·b的几何意义：数量积a·b等于_____________与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．它是负值a的长度|a|4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝数量积a·b＝|a|·|b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a|·|b|cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝05.平面向量数量积的运算律①a·b＝b·a.②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.一、数量积的运算例1(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x).若a·b＝1，则x＝()A.－1B.－12C.12D.1(2)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为____.(3)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为____.D71254(4)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM→·CN→的取值范围为()A.2，52B.2，4C.3，6D.4，6D【解析】(1)a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1.故选D.(2)因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以k＋(1－2k)·－12－2＝0，解得k＝54.故填54.(3)∵向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos120°＝2×3×－12＝－3，∵AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝λAB→＋AC→·BC→＝λAB→＋AC→·AC→－AB→＝0，即λAB→·AC→－AB→·AC→＋|AC→|2－λ|AB→|2＝0，∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝712，故答案为712.(4)以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A(3，0)，B(0，3)，∴AB所在直线的方程为：x3＋y3＝1，则y＝3－x，设M(a，3－a)，N(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3，不妨设a＞b，∵MN＝2，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2，∴CM→·CN→＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)，0≤b≤2∴当b＝0或b＝2时有最大值6；当b＝1时有最小值4，∴CM→·CN→的取值范围为[4，6]，故选D.【点评】平面向量的数量积运算形式分为“定义式和坐标式”两种，在运算过程中注意数量运算法则的灵活应用.二、向量的模与夹角例2(1)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____.(2)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是.π3π6，5π6(3)已知平面上的向量PA→、PB→满足PA→2＋PB→2＝4，AB→＝2，设向量PC→＝2PA→＋PB→，则PC→的最小值是()A.1B.2C.3D.3(4)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A.1B.2C.2D.22BC【解析】(1)设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝12，∴θ＝π3.故填π3.(2)由题意得，|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6，5π6.故填π6，5π6.(3)因为PA→2＋PB→2＝AB→2，所以PA→⊥PB→或P与A，B重合，则PC→＝PC→2＝2PA→＋PB→2＝4PA→2＋PB→2＝3PA→2＋4≥2，故选B.(4)由(a－c)·(b－c)＝0展开得a·b－a＋b·c＋c2＝0因为a与b垂直，所以a·b＝0，进而可得c2＝a＋b·c即c2＝a＋bccosθ，又由a、b为互相垂直的两个单位向量可知a＋b＝2所以c＝2cosθθ∈0，πc∈－2，2，即c最大为2，故选C.【点评】本题考查了向量的夹角与向量的模长两个概念，与三角函数只是联系在一起.三、向量的平行与垂直关系及应用例3已知向量a＝sinx，34，b＝(cosx，－1).(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝3，b＝2，sinB＝63，求f(x)＋4cos2A＋π6(x∈0，π4)的取值范围.【解析】(1)∵a∥b，∴34cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－34，cos2x－sin2x＝cos2x－2sinxcosxsinx2＋cos2x＝1－2tanx1＋tan2x＝85.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin2x＋π4＋32，由正弦定理得asinA＝bsinB可得sinA＝22，所以A＝π4，或A＝3π4，因为ba，所以A＝π4.f(x)＋4cos2A＋π6＝2sin2x＋π4－12，∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，所以12≤f(x)＋4cos2A＋π6≤2－12.【点评】(1)由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；(2)利用平面向量的数量积运算法则确定出f(x)，由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围.四、向量的数量积的综合应用例4在△ABC中，已知2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|＝3BC→2，求角A，B，C的大小.【解析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c.由2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|得2bccosA＝3bc，所以cosA＝32.又A∈(0，π)，因此A＝π6.由3|AB→|·|AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2.于是sinC·sinB＝3sin2A＝34.所以sinC·sin5π6－C＝34，sinC·12cosC＋32sinC＝34.因此sin2C－3cos2C＝0即2sin2C－π3＝0.由A＝π6知0C5π6，所以－π32C－π34π3，从而2C－π3＝0或2C－π3＝π，即C＝π6或C＝2π3，故A＝π6，B＝2π3，C＝π6或A＝π6，B＝π6，C＝2π3.【点评】平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系，如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给的三角函数的结构及向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度.〔备选题〕例5在四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，问：四边形ABCD是什么四边形？【解析】∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.∵a·b＝c·d，∴a2＋b2＝c2＋d2，即|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2①同理，|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2②①－②得|b|2＝|d|2，又由①得|a|2＝|c|2，∴|a|＝|c|，|b|＝|d|.∴四边形ABCD是平行四边形，∴c＝－a.∵a·b＝b·c，即b(a－c)＝0，∴b·(2a)＝0，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴四边形ABCD为矩形.1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·cb＝c；a·b＝0a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律.2.公式a·b＝|a||b|cosθ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.方法总结：3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判