直线与圆的位置关系(第二课时)

直线和圆的位置关系1点和圆的位置关系有几种？点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则：点在圆外dr;点在圆上d=r；点在圆内dr.ABC位置关系数形结合：数量关系同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽的海上日出从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？今天老师和同学们一起来探究请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景。在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你分类的依据是什么？(地平线)a(地平线)●O●O●O(2)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）lOlAOlO相交相切相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？2、连结直线外一点与直线所有点的线段中,最短的是______？1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。垂线段a.AD相关知识点回忆直线和圆相交dr直线和圆相切d=r直线和圆相离drrdrd∟rd数形结合：位置关系数量关系二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）总结：判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________的个数来判断；（2）根据性质，由_________________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?a(地平线)小试牛刀1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：3)若d=8cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.2)若d=6.5cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.1)若d=4.5cm,则直线与圆,直线与圆有____个公共点.3)若AB和⊙O相交,则.2、已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离,则;2)若AB和⊙O相切,则;相交相切相离d5cmd=5cmd5cm小试牛刀0cm≤2103、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB相切，则这个圆的半径是cm。CBA4、直线L和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（）.A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。12/5D例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm(3)r=3cm．BCA43分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d。Dd解：过C作CD⊥AB，垂足为D在△ABC中，AB=22BCAC22435根据三角形的面积公式有BCACABCD2121∴)(4.2543cmABBCACCD即圆心C到AB的距离d=2.4cm所以(1)当r=2cm时,有dr,因此⊙C和AB相离。Dd（2）当r=2.4cm时,有d=r,因此⊙C和AB相切。（3）当r=3cm时，有dr，因此，⊙C和AB相交。DDdd1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？(1)4.5cmA0个；B1个；C2个；答案:C(2)6.5cm答案:B(3)8cm答案:AA0个；B1个；C2个；A0个；B1个；C2个；自我检验2、如图，已知∠BAC=30度，M为AC上一点，且AM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm(2)r=4cm(3)r=2.5cmDA.(-3,-4)Oxy已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____,y轴与⊙A的位置关系是_____。BC43相离相切-1-1拓展.(-3,-4)OxyBC43-1-1A若⊙A要与x轴相切，则⊙A该向上移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？思考已知⊙O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离m.o。l1l2ABCl2观察讨论D在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，r为半径作圆。①当r满足时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相离。②当r满足时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切。③当r满足时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交。12BCA130﹤r﹤1360r=1360r﹥1360④当r满足时,线段ＡＢ与⊙Ｃ只有一个公共点。或5﹤r≤12r=13605CD=cm1360小结：1、直线与圆的位置关系：0dr1d=r切点切线2dr交点割线．Ｏldr┐┐．ｏldr．Old┐r图形直线与圆的位置关系公共点的个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点的名称直线名称.ACB..相离相切相交2、判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由__________________的个数来判断；（2）根据性质，由___________________________________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r直线和圆的位置关系2过点A能作圆O的切线吗?如果能如何作?(1)若A在圆O内.(2)若A在圆O上.(3)若A在圆O外.OA则圆心O到直线L的距离是多少?______,直线L和⊙O有什么位置关系?_________.OA相切A.OL直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.几何语言:∵OA⊥L且OA为圆O的半径∴L是⊙O的切线这个定理实际上就是:d=r直线和圆相切的另一种说法。在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线L⊥OA.OAOAAO经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判断下图中的L是否为⊙O的切线?⑴半径⑵外端⑶垂直证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端②垂直于这条半径。做一做：如图ＡＢ是⊙Ｏ的直径，请分别过Ａ，Ｂ作⊙Ｏ的切线．ＡOB问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？巩固练习1、如图，已知点B在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？⑴OB=7,AO=12,AB=6⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′BAO2、如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45°。求证：AT是⊙O的切线BOTA巩固练习例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线BCAO证明：连结OB∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）=180°-（60°+30°）=90°∴AB⊥OB∴AB为⊙O的切线一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。驶向胜利的彼岸已知:△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线D与⊙O的位置关系，并说明理由.21DBOAC已知:△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.1DOACBE2变式:如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是⊙O的切线。CＯABDE证明：作OE⊥BC于E∵点O为∠ABC平分线上一点OD⊥AB于D∴OE＝OD又∵OD为⊙O半径圆心Ｏ到直线BC的距离等于半径，所以BC与⊙O相切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可切线的判定方法有：③、切线的判定定理。②、直线到圆心的距离等于圆的半径。①、直线与圆有唯一个公共点。经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理:这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线.若无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度?在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度?由此你发现了什么?2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么?你的发现与你同伴发现相同吗?经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.经过切点的半径垂直于圆的切线.TAO切线的性质一般地,圆的切线有如下的性质:经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定垂直）（判定半径或直径）∵⊙O与AT相切于点A∴OA⊥AT∵圆与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点∴AP是圆的直径ATOP几何语言例1木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.OABCD解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D.∵⊙O与BC相切于点C.∴OC⊥BC∵AB⊥BC,AD⊥OC∴四边形ABCD是矩形∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB222OAODAD在Rt△ADO中,22216)8(rr即解得:r=20答:⊙O的半径为20cm连结过切点的半径是常用的辅助线2、如图，AT切⊙O于点A，AB⊥AT，交⊙O于点B，BT交⊙O于点C。已知∠B=300，AT=。求⊙O的直径和弦BC的长。3TCABO1、如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l，请说明的理由AP=PBlOPBA圆的切线垂直于经过切点的半径经过切点垂直于切线的直线必经过圆心练一练本题也可用代数法证例2如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD.求证:CODACD21CBAODE证明:作OE⊥DC于点E,∵△ODC是等腰三角形CODCOE21∵⊙O与AB相切于点C∴OC⊥AB∴∠ACD=∠COE=900-∠OCECODACD21补充知识：切线与弦所夹的角叫弦切角，它的度数等于所夹弧的度数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等于所夹弧所对的圆周角的度数．(选择填空可直接用)1、如图：PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,求∠ABC的度数。OCPAB练一练变式：如图，∠APＣ=50°，PA、PC、DE都为⊙O的切线，则∠DOE为。OCPADEＦ65°2、如图，已知：AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为6cm,AB=8cm,则OA=_____cm.OBAC若AB等于6cm，则∠AOB=_______.590°练一练3.如图,AB切⊙O于点B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=700,则∠A的度数为()A.20°B.50°C.40°D.80°ABOCDB练一练如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC,∠C=30°，AD=1，AB=2.试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.30DCBA做一做2、如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明理由。CBAODE做一做若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，求出图中线段AD,CE的长度？F3、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆；求证：(2)CE是⊙O的切线。EOFBDACG做一做4、先按要求操作：AB为⊙O的直径