直线与圆的位置关系题型很全

Oxy一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单位长度．轮船一.实例引入港口Oxy轮船一.实例引入港口轮船航线所在直线l的方程为：02874yx问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:922yx想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（1）（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（2）（3）直线与圆相离，没有公共点．（3）二.直线与圆的位置关系在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？（1）（2）（3）二.直线与圆的位置关系先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来．判断直线与圆的位置关系有两种方法：方法一：代数法，判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．方法二：几何法，判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果dr，直线l与圆C相交；如果d=r，直线l与圆C相切；如果dr，直线l与圆C相离．二.直线与圆的位置关系那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0消元一元二次方程方法二：直线：Ax+By+C=0;圆:(x-a)2+(y-b)2=r2d=小结：1.判断直线与圆位置关系的方法1、几何方法解题步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,圆的方程化为标准式，求出圆心和半径直线与圆的位置关系把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其Δ的值比较Δ与0的大小:当Δ0时,直线与圆相离；当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ0时,直线与圆相交。2、代数方法主要步骤：利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程代数法：3x+y－6=0x2+y2－2y－4=0消去y得：x2-3x+2=0=(-3)2-4×1×2=10所以方程组有两解，直线L与圆C相交22551031|3016|几何法：圆心C（0，1）到直线L的距离d==r所以直线L与圆C相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr弦长=22102(5)()102题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。圆的弦长的求法1．几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则2＝r2－d2.2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式）(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB422yx22212121422301717,221717,2217171717(,),(,)2222||14yxyxyxxxxyyABAB由消去得例1、已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值422yx解法二：（弦长公式）xyOAB22212122212122214223031,2||(1)[()4]3(11)[(1)4()]142yxyxyxxxxxxABkxxxx由消去得1．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值422yx解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）2221221(1)||214dABrd设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则xyOABdr2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值练习：求直线3x+4y+2=0被圆截得的弦长。03222xyx例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。54.xyOM.利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜率。X+2y+9=0,或2x-y+3=0题型三、求圆的切线方程的常用方法•复习点与圆的位置关系，判断切线的条数•题型三、求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.1,CPk•（2）已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.•因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是11.kk例1：求过一点P(-3,-2)的圆x2+y2+2x－４ｙ＋１＝０的切线方程。解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）代入圆方程使Δ＝０；Ｋ＝即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线34注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。小结：求圆的切线方程一般有两种方法：(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．练习1.求过M（4，2）且与圆相切的直线方程.22860xyxy:)(047)1()12(:,25)2()1(:.122RmmymxmlyxC直线已知圆练习;)1(相交与圆证明直线Cl.,)2(的方程直线截得的弦长最小时被圆求直线lCl题型四、最长弦、最短弦问题222430102.xyxyxy+++-=++=例1、圆上到直线的距离为的点共有几个题型五、判断点的个数问题练习1:已知圆,直线l:y=x+b,求b的取值范围,使(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1(2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1(5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1224xy题型六、数形结合问题•7.若直线y=x+k与曲线恰有一个公共点,则k的取值范围是__________________.21xy2(1,1]kk或题型七、垂直问题已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．，分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决．解：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx．一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx．①另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx②的两个根．∴221xx，527421mxx．③又P、Q在直线032yx上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121xxxxxxyy．将③代入，得51221myy．④将③、④代入①，解得3m，代入方程②，检验0成立，∴3m．