直线与圆锥曲线中等难度大题

圆锥曲线大题基本题型联立及判别式法点差法其他1.求直线方程2.定点、定值问题3.最值范围问题1.2014ll２２２２ｘｙ高考已知点Ａ０，－２，椭圆Ｅ：＋＝１ａ＞ｂ＞０ａｂ３２３的离心率为，Ｆ是椭圆的焦点，直线ＡＦ的斜率为，Ｏ为２３坐标原点。求Ｅ的方程；设过Ａ的直线与Ｅ交于Ｐ，Ｑ两点，当ＯＰＱ的面积最大时，求的方程(一)联立及判别式法22222221122222221,222212222,,3.33,2,1.21.4:2,,,,,2141+416120.38243=16430,.441411cccabacaxEylxlykxxPxyQxyykxykxkxkkkkxkkPQkxx解设Ｆｃ,0由条件知，得又所以故的方程为当轴时不合题意，故设将代入得当即时，从而224341kk2222221,21443.4144410,.444742272.2OPQOPQOPQdSdPQkkktkttSttttttly又点到直线的距离所以设因为，当且仅当，即k=时等号成立，且满足0,所以，当OPQ的面积最大时的方程为111,:23503,331.3,COlxyAAMxMNONOAOMNCCllCBDOBD配练：已知圆的圆心在坐标原点且恰好与直线相切，设点为圆上一动点，轴于点且动点满足，设动点的轨迹为曲线求曲线的方程；直线于垂直且于曲线交于两点，求面积的最大值22193xy22222221,2212222222131239014413439039,124861261173,261321173,55135339333939=1322OBDlyxbCxbxbbbbbbbbxbbOldBDxxbbSbbb设：于曲线联立得，，得点到直线的距离当且仅当即时取等号2.-3,03,010,xoyPlECABCAOBAOB在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线过，且与曲线交于两点。求曲线的方程；的面积是否存在最大值，若存在，求出面积的最大值；若不存在，说明理由。22(30),(30).1.4PCxCy解故曲线由椭圆定义可知，点的轨迹是以，，为焦点，长半轴长为2的椭圆故曲线的方程为第一问考查圆锥曲线定义；第二问考查面积最值2222222211221(1,0)(30),(30).1.41(4)23041(2)12(4)0.()().PCxCyxymymyxmymmAxyBxymy解故曲线由椭圆定义可知，点的轨迹是以，，为焦点，长半轴长为2的椭圆故曲线的方程为存在AOB面积的最大值因为直线l过点E，可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍）．则，整理得设，，，解得2222212222122222max232343,||4441232124331(),3,3()[3,)4333()0()322AOBAOBAOBmmmmyyymmmmSOEyymmmgtttmtgttgtSmS,则因为设,则在区间上为增函数．所以,所以当且仅当时取等号,即12504,xoyxEEAlOAOAEMNAMNl配练：在平面直角坐标系中，一动圆经过点（1,0）且与直线=-1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线。求曲线的方程；已知点，，倾斜角为的直线与线段相交不经过点或点且与曲线交于两点求面积的最大值，及此时直线的方程。22222221122121221211,0142,05.,,4240,2441610,,,42,,1422,xxyxmlyxmmyyxxmxmmmmMxyNxyxxmxxmMNkxxmA配练答案：由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y由题意可设的方程为其中由方程组消去得成立。设则又点到直323225.2251291525.91525,05,'31815315,050,11,532182AMNAMNmldSmmmmmfmmmmmfmmmmmmfmfmlyxS线的距离为令函数在上单调递增，在上单调递减。当m=1时有最大值，故当直线的方程为时，的最大面积为22212123.45,:017.1212,,,,,,NxyCymxmFNFCPlCABABCllllQQNlQ已知圆：抛物线的焦点为，求抛物线的方程；过点，的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的两条切线设交于点若点在圆上，求的方程及点的坐标。ABQPF22224.:101012,0xyCababxyCCPCMlCOSOTtOPOt已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径圆相切。求椭圆的方程；设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点S和T,满足为坐标原点，求实数的取值范围。22222211212103,01-11,940,=xyEababFFEABABExylABABMlkkOMkkk作业：1.已知椭圆：的右焦点为过的直线交于、两点，若、的中点为，，求的方程2.已知直线和双曲线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为设直线的斜率为，则49221.1189xy（二）点差法典型习题23.3,2:6,MlyxABMABAB过定点的直线与曲线C交于两点，若点是线段的中点，求线段的长。2182:3key22221111.101,0124,0.xyCababCQlCABABOAB已知椭圆：的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.求椭圆的方程；过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点A关于x轴的对称点为A求证：直线过x轴上一定点，并求出此点坐标；求面积的取值范围。①②定点、定值问题122212221212122.1043460.3120,2,,,,,+=4FMFxyCabFFabFMFSCPPAPBCABPAPBkkkkAB已知椭圆：的左右焦点分别为，，焦距为，点M是椭圆上一点，满足，且求椭圆的方程；过点分别作直线交椭圆与两点，设直线的斜率分别为且，求证：直线过定点。22:112220,28412,-1-2xykeymkmymxmymxx过定点，221222212222.:10,4.3211,,xyCabFFabyxQFQFCxlxCMNPMPNP已知椭圆椭圆的左右焦点分别为、，其中右焦点与抛物线的焦点重合，为椭圆上任意一点，且的最大值为求椭圆的方程；在正半轴上是否存在一点P，过该点的直线不与轴重合与椭圆交于两点使得为定值？若存在，求出点坐标和定值；若不存在，说明理由。22222222222222218729624111=431312411718729624=7927,07mttxyPMPNmttttPMPN提：当即时为定值为示。定点P003.23.,2MxPxyMPMAB已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其短轴长为，离心率为点为椭圆内一定点不在坐标轴上，过点的两条直线分别于椭圆交于A,C和B,D,且ABCD.求椭圆的轨迹方程；证明：直线的斜率为定值。22112233440130013001232330132201012222200014,,,,,,,,,,1,=14111+=1411+-1+42xyAxyBxyCxyDxyxxxxAPPCyyyyxxxxCyyyyxxyyxyx解设则在椭圆上，即得2221101122112222000101222200020200+4y4=1411+-1++4y-14211+-1++4y-142k4xxyyxAyxyxxyxyxxyxy又在椭圆上，得同理得两式相减可得为定值222.2220,PxyPQxQMQPQMMCxymCABCMMAMBM点在圆上移动，轴于，动点满足=.求动点的轨迹的方程;若动直线与曲线交于两点，在第一象限内曲线上是否存在一点使与的斜率互为相反数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。2211432xy解2.２２２２２２２２００２２２２２ｘｙ已知椭圆＋＝１ａ＞ｂ＞０的右焦点为Ｆ１，０，ａｂ３点Ｈ１，在椭圆上。２求此椭圆方程；点Ｍｘ，ｙ在圆ｘ＋ｙ＝ｂ上，Ｍ在第一象限，过Ｍ作圆ｘ＋ｙ＝ｂ的切线交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，问ＦＰ＋ＦＱ＋ＰＱ是否为定值？如果是，求出定值，如不是说明理由。PQMF2OXY