空间向量的正交分解及其坐标表示 课件 (人教版)

,p,xypxayb.abab如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，，使＝＋共线向量定理:复习：共面向量定理:0//a.abbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abpxyzOijkQPp一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影.p,,ijk,ij一、空间向量的坐标分解,,,zkOQ实数存在所确定的平面上在,,,,ijxy在所确定的平面上存在实数jyixOQ使得kzOQOP使得kzjyixkzOQOPxyzQPpOijk由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.,,ijkP,,xiyjzk,,ijkp.pxiyjzk空间向量基本定理：都叫做基向量,,abc注:探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？,,abc,,ijk如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使,,abcP.pxaybzc,,xyz{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.00（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.二、空间直角坐标系xyze1e2e3O单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用表示.123,,eee123,,eee123,,eee空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积xyzOP(x,y,z)e1e2e3P在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量由空间向量基本定理可知,存在有序实数组,使oppopp,,xyz123Pxeyeze123Pxeyeze123Pxeyeze123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系O--xyz中的坐标，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.,,xyz,,xyz,,xyz显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).OPxyzOP(x,y,z)即(,,)(,,)OPxyzPxyz也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.e1e2e3一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？______________AM______________OB1________________PQ练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ..OQOPOCOBOAMNQPBCOAOABCNM和表示，，量用向的三等分是，的中点，，的边分别是四面体，如图，例题讲解例1.OABCMNPQ11163312:2312()23121()632OAOBOCOPOMMPOAMNOAONOMOAOBOC解..OQOPOCOBOAMNQPBCOAOABCNM和表示，，量用向的三等分是，的中点，，的边分别是四面体，如图，例1.OABCMNPQ:1111(2323111()232111()332111366OQOMMQOAMNOAONOMOAONOAOAOBOCOAOBOC解）探究：向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)a-b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)111,,axyza·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0//abrrabl?rr121212,,xxyyzzlll?==ab^rr0ab圩=rrÛ222111||axyz=++r若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，ABuuur222212121()()()ABxxyyzz=-+-+-uuuv222212121()()()ABxxyyzz=-+-+-uuuv222212121()()()ABxxyyzz=-+-+-uuuv121212222222111222xxyyzzxyzxyz++=++++121212222222111222xxyyzzxyzxyz++=++++121212222222111222xxyyzzxyzxyz++=++++cos,||||ababab×=rrrrurrcos,||||ababab×=rrrrurrcos,||||ababab×=rrrrurr已知A(，，）,111xyz1(1)则点A(，，）关于xoy平面的对称点A(，，-);111111xyzxyz1(2)则点A(，，）关于yoz平面的对称点A(，，);111111xyzxyz-1(3)则点A(，，）关于xoz平面的对称点A(，-，);111111xyzxyz已知A(，，）,111xyz4(4)则点A(，，）关于x轴的对称点A(，-，-);111111xyzxyz5(5)则点A(，，）关于y轴的对称点A(-，，-);111111xyzxyz6(6)则点A(，，）关于z轴的对称点A(-，-，)。111111xyzxyz如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦值.xyzEABCA1FB1C1D1D15cos,17BEDF=uuuruuur例2.例题讲解如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，求证：EF⊥A1D.xyzEABCA1B1C1D1DF例3.例题讲解