空间向量的正交分解及坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。学习重点空间向量基本定理学习难点探究空间向量基本定理的过程及定理的应用1211122122eeaeeaee如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线＝＋基底。）1、平面向量基本定理：一、预备知识apbyaxp＋＝一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量来表示？ba,paxbybOPyx12312ij3、在平面直角坐标系中，取与X轴Y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，在图中作出=，并写出的坐标。ijpji23ppp=（3，2）i3j2Opxyzoijkijk二、探究与发现[探究一]设、、为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量，如何用、、来表示？ijkpQkzjyixpPbpc[探究二]如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量，还有类似结论吗？cba,,cbyaxpz＋＝OPQ空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc。把不共面的三个向量{a、b、c}叫做空间的一个基底a,b,c都叫做基向量注意：2.空间向量的基底唯一吗？1.空间向量的基底可以为零向量吗？任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。基向量不能为零向量单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间向量的坐标表示给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)p（2）空间向量的坐标表示xyzOe3e1e2P三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作=(x,y,z)p由空间向量基本定理，对于空间任一向量存在唯一的有序实数组(x,y,z)使pkzjyixpP′P有序实数组(,,)xyz一一对应pxiyjzk,,ijk为基底空间向量p练习.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量，，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量，，表示向量AC1和BD1。ijkijkijk三、定理应用例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量、、表示和。OAOBOCOPOQ解：=OABCMNPQMNOAMQOMOQ3121)(3121OMONOA)21(3121OAONOA)(213131OCOBOA)(3221OMONOA)21(3221OAONOA)(213261OCOBOAOCOBOA313161MNOAMPOMOP3221解：OABCMNPQ练习3（1）cbaBObcABcbaACcbaOG2121(2)四、学后反思1、知识点：2、问题探究过程的思路剖析：[课下探究]空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：P106A组1.2.ABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’谢谢！再见！练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323练习2空间向量运算的坐标表示,则设123123(,,),(,,)aaaabbbbababaab//abab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)()aaaR112233ababab112233,,()abababR1122330.(,)abababab都不是零向量一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。已知(,,)axyz,则222axyz||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()ABdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab已知111222(,,),(,,)axyzbxyz则121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz3.中点坐标公式已知111222(,,),(,,)AxyzBxyz则线段AB的中点坐标为121212(,,)222xxyyzzF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例2如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA证明:设正方体的棱长为1,1,,.DAiDCjDDk建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,,1),2ADDF则11(1,0,0)(0,,1)0.2ADDF1.ADDF1(0,1,),2AE又111(0,1,)(0,,1)0.22AEDF1.AEDF又ADAE=A,1.DFADE平面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FADAEAD1另证可以用三垂线定理证D得证例3.在正方体1111ABCDABCD中,EF、分别是1BBCD、的中点,求证:1DFADE平面.证明：设11111CBaCDbCCc，，,则1112BCcaCOab，（）,例4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1.abc112ODODcbac（）,若存在实数,xy,使得11BCxODyOC成立，则11112222caxbacyabxyaxybxc（）（）（）（）∵abc，，不同面，∴121211011xyxxyyx（）（）即∴11BCODOC，∵11BCODOC，，为共面向量,且111BCODOCODC不在，所确定的平面内∴1111////.BCODCBCODC平面，即平面小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。