空间向量的直角坐标运算(公开课)

§3.1.4空间向量的直角坐标运算学校：凌海市第三高级中学授课人：焦龙空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc思考:空间向量的基本定理是由什么类比推广而得到的呢？平面向量基本定理空间向量基本定理类比推广在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢？思考:平面向量坐标表示空间向量坐标表示类比推广墙墙地面z134x4y15O一、空间直角坐标系空间直角坐标系的画法:oxyz1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k}这个基底叫做单位正交基底,单位向量i,j,k都叫做坐标向量.建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k.空间向量的直角坐标运算a=xi+yj+zk在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(x,y,z),使xi,yj,zk分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序数组(x,y,z)，叫作向量a在此直角坐标系中的坐标.记作a=(x,y,z)空间向量的直角坐标运算思考:平面向量用坐标表示后，平面向量有哪些线性运算法则？如何类比推广到空间呢？平面向量坐标运算12121122(,),(,),(,),(,)aaabbbAabBab设则1122(+,+)abab+ab1122(-,-)abab-ab))(,(21Raaaab1122abab112112212221,0,,aaababbbabab=AB2121aabb（，）ab11220abab0ba//abab)0(b利用学过的知识，你能类比猜想出空间向量运算的坐标表示吗？动动脑，动动手，你会得到意想不到的收获AOBO平面向量坐标运算空间向量坐标运算12121122(,),(,),(,),(,)aaabbbAabBab设则331121211222(,,),(,,),(,,),(,,)abcaaabbbAabBacb设则1122(+,+)abab+ab331122(+,++,)abbaba+ab1122(-,-)abab-ab331122(-,--,)abbaba-ab))(,(21Raaa123(,,)()aaaRaab1122ababab331122ababab312112233123,,,aaaabababbbb112112212221,0,,aaababbbababab1122330aababb212121aabcbc（，,）ab11220abab0ba0baab//ab)0(b//abab)0(b2121aabb（，）=ABAOBO=ABAOBO例1已知a=(1,-4,8),b=(3,10,-4),求a+b,a·b,3a-2b.a+b=(1,-4,8)+(3,10,-4)=(1+3,-4+10,8-4)=(4,6,4)a·b=(1,-4,8)·(3,10,-4)=3-40-32=-693a-2b=3(1,-4,8)-2(3,10,-4)=(-3,-32,32)变式已知a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),求3a-2b法一：由a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),得2a=(a+b)+(a-b)=(4,6,4);2b=(a+b)-(a-b)=(-2,-14,12);即a=(2,3,2);b=(-1,-7,6);所以3a-2b=(8,23,-6)法二：设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b则m+n=3,m-n=-2;m=1/2,n=5/2;所以3a-2b=1/2(a+b)+5/2(a-b)=(8,23,-6)(-2,3,1)(2,-4,1)(4,-8,2)(10,1,8)(12,-3,9)变式训练，提高能力变1:已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,9),求证四边形ABCD是梯形。BC=(8,5,7)变式训练，提高能力变2.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,n,10),D(8,4,m),又四边形ABCD是梯形，且AB∥CD,求实数m,n的值。例3:已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.已知A(1,0,1)、B(4,4,6)、C(2,2,3)、D(10,14,17)，且AD＝xAB＋yAC，则x＋y＝________.空间向量的坐标运算5坐标形式下平行与垂直问题已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k.(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.-1/3106/3回顾反思总结提炼知识总结：1.如何用坐标表示空间向量；2.空间向量坐标运算法则；方法提炼：1.类比推广2.数形结合3.方程思想4.整体思想教材第92页，练习1、2、3、4、5