八年级数学上册线段的垂直平分线

如图，△ABC和△关于直线MN对称，点、、分别是点A、B、C的对称点,线段、、与直线MN有什么关系?ABCCBABBAACC探究一ＡＰ＝∠ＭＰＡ＝∠＝APAMP090将△ＡＢＣ和△沿ＭＮ折叠后，点Ａ与点重合，于是有:ACBA探究二1、用上述方法，你还能得其它的结论吗？BD=CE=∠MDB=∠∠MEC=∠CMEBMDCEBD2、由，，你能得什么结论？ＡＰ＝AP∠ＭＰＡ＝∠＝AMP090点P是的中点MN⊥AAAA结论对称轴所在的直线经过对称点连线段的中点，并且垂直于这条直线线段ED轴对称的性质：1.对应点连线段被对称轴垂直平分。2.对应线段相等，对应角相等。线段的垂直平分线的定义经过线段的中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段的垂直平分线（又名线段的中垂线）轴对称中的垂直平分线性质:1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对应点连线段的垂直平分线2、如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴是任何一对应点连线段的垂直平分线L垂直平分L垂直平分L垂直平分AACCBB探究三请同学们动手做一做木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，是L上的点，分别量一量点到A与B的距离，你有什么发现？3P2P1PK3P2P1P，，，K∵L垂直平分AB∴P1A=P1BP2B=P2B……….线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等垂直平分线的性质定理如图，MNAB，垂足为点C，AC=CB，点P是直线MN上的任意一点.已知：PA=PB求证：ABCNMP证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。证明:∵MNAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定义)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已证)PC=PC(公共边)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ACMNP当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?PCA与PCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PBB几何语言表达：∵MN⊥AB于C，且AC=BC,点P在MN上∴PA=PB线段垂直平分线的性质定理:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？为什么CBA只要AB=BC就可以与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上∴点B在线段AC的垂直平分线上∵AB=BC探究三垂直平分线的性质逆定理线段垂直平分线的逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结论：PABC几何语言表达：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上此定理可以作为垂直平分线的判定定理已知:如图,PA=PB求证:点P在线段AB的垂直平分线上.过点P作PCAB，垂足为点C.在RtPCA和RtPCB中∵PA=PB，PC=PC∴RtPCA≌RtPCB(H.L.)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线上.证明：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。CBPA证明：故∠PCA=∠PCB=90°.1.垂直平分线的定义：∵MN是AB的垂直平分线∴，；2.垂直平分线的性质：∵MN是AB的垂直平分线∴（）3.垂直平分线的判定：∵PA＝PB∴（）MN⊥ABPABMNDAD＝BDPA＝PB线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等P在AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4、线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。作线段的垂直平分线一.已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.ABCD作法：（2）作直线CD.CD即为所求.原理：线段垂直平分线的逆定理.与两点确定一条直线（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.12作线段的垂直平分线方法二.已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.ABCM作法：（3）连直线CM.CM即为所求.（2）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C点.12（1）取线段AB的中点M原理：线段垂直平分线的逆定理.与两点确定一条直线1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？BA【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站.作图与探索2.有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.ABC【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，然后说说你发现了什么?三角形三边垂直平分线的性质发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证：O点在AC的垂直平分线上．证明：连接AO，BO，CO．∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点OCBAO3.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.（1）求证：PA=PB=PC.（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。三角形三边的垂直平分线的性质定理CBAO3．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC．证明：∵AB=AC，AD是BC的中线，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)．又∵AB的垂直平分线与交于点O∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．DCBAO分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm，DE是BC的垂直平分线,根据这些条件，你可以求出线段BC的长?（1）△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝18cm.（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm.（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB.（4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.EDCBA【解析】课前热身-求边1.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.DCBEA【解析】∵ED是线段AB的垂直平分线，∴∵△BCD的周长=BD+DC+BC∴△BCD的周长===BD=AD，AD+DC+BCAC+BC12+7=19.2.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为cmABDCE1913cm3.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD4.如右上图，在锐角三角形ABC中,∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1____∠2，∠3____∠4，∠5___∠6，∠1+∠4=_____度，∠5+∠6=_____度，∠BOC=_______度.FABC154632EO课前热身-求角5、如图，在Ｒｔ△ABC中，∠Ｂ＝９０°∠Ａ＝４０°，ＡＣ的垂直平分线ＭＮ与ＡＢ交于点Ｄ，则∠ＢＣＤ的度数是＿＿ＡＭＣＢＤＮ6.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__∠1,∠C__∠2,若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.ABCP点P为校址课前热身-作图7.如图,已知点A、B和直线l,在直线l上求作一点P,使PA=PB.lBAP点P为所求作的点8.如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.DACBE证明：∵BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE∴AB=CB，AD=CD.（线段垂直平分线的性质定理）∴AB+CD=AD+BC课前热身-证明9.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上。ABDC证明：∵BD+AD=BC=BD+DC∴AD=DC∴点D在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）10.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.ABCD证明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形内角和定理)∴A=ABD(等量代换)∴D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分线的定义)30o∴AD=BD(等角对等边)11.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:AD∥BC.ABCDO123证明:∵线段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(线段垂直平分线的性质定理)∴1=3(等边对等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分线的定义)∴2=3(等量代换)∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)ABCDEF1234∴1+2=4(等边对等角)又∵4=B+3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴1+2=B+3∵AD平分BAC(已知)∴2=3(角平分线的定义)∴1=B即CAF=B.证明:∵EF垂直平分AD(已知)∴AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)12.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.