第四章 机械振动

首页上页下页退出1tx1x2x第四章机械振动§4-1简谐振动的动力学特征§4-2谐振动的运动学§4-3简谐振动的能量§4-4简谐振动的合成§4-5阻尼振动受迫振动共振§4-6非线性振动简介首页上页下页退出21、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。一、振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物质的运动具有粒子和波动两种图象。天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。§4-1简谐振动的动力学特征首页上页下页退出32、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成(在时间上）具有某种重复性。首页上页下页退出4二、几个谐振动的实例１、弹簧振子1）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端与刚体联结条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦2）无阻尼时的自由振动阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）首页上页下页退出5首页上页下页退出6mk2令0则得222xdtxd)cos(0tAx解微分方程得：xkF22dtxdmamFkxdtxdm22首页上页下页退出72）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原点。（2）恢复力矩的特点：重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：sinmglM负号表示力矩方向始终与角位置方向相反1）定义)5(,::0的摆动在竖直平面内作小角度在重力作用下条件轻绳与质点固联一端固定的不可伸长的构成２、单摆/o0lgmT/o0首页上页下页退出8根据麦克劳林展开53!51!31sin略去高阶无穷小后mglM（3）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。（角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过0的水平轴的转动惯量2mlJ首页上页下页退出93）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：mgldtdml222令2gl0222dtd则得方程的解为00costJM首页上页下页退出102）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程３、复摆Jmgh2令0222dtd则得sinmghMmghM──式中h指质心到悬点的距离mghdtdJ22由定轴转动的转动定律：方程的解为00cost⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙c●hmg1)定义摆条件：同单轴转动构成：刚体绕水平光滑首页上页下页退出11三、简谐振动的特征和谐振动的定义1、谐振动特征动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程：运动学特征：谐振动的运动学方程)cos(0tAxxtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(式中A、是由初始条件所决定的两个积分常数0振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）F＝b-ax物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数首页上页下页退出122、谐振动的定义：谐振子的定义：0222dtd的系统，即为谐振振子系统。谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动谐振动定义：一个描述其“惯性”的物理量可视为常数的系统,在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足首页上页下页退出13例10-1弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。证：以平衡位置A为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时m的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程为式中是弹簧挂上重物后的静伸长mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdtxdm0222xdtxd即有：这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0mgF首页上页下页退出14一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。§4-2谐振动的运动学首页上页下页退出15二、描述谐振动的三个物理量1、振幅A──由初始条件x0、v0决定)sin()cos(00tAVtAx令t=0则)2()1(sincos0000AVAx222122020VxA得（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间2、周期T（频率、圆频率ω、固有圆频率）)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2T2T或首页上页下页退出16(3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数固有角频率Jmghmklg222复摆弹簧振子单摆(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数T1＝２固有振动周期mghJTkmTglT222(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率2首页上页下页退出173、位相：位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相──取其具有周期性。）)sin()cos(100tAvtAx能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是0t(2)初位相t=0时的位相0(i)用分析法确定特殊情况下的位相0sincos0000AvAAx00t=0时，x0=A,v0=0.(位——位置；相——变化的态势）X0X0=+A首页上页下页退出180sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx00sin0cos0000AvAx230X0t=0时,x0=0,v00vX0t=0时,x0=-A,v0=0-AX0vt=0时,x0=0,v00首页上页下页退出190sin2cos0000AvAAx300000sincosAvAx000xvtg即由初始条件所决定的两个积分常数分别为和0A)(2020vxA)(0010xvtg(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相φ0，取使x0v0、均满足的值X0A／2t=0时,x0=A/2,v00v首页上页下页退出2000AXoXotxXo-AXoAXo2/002/30tx20txtxtx)2/()0(0首页上页下页退出21谐振动的速度，加速度特点)sin()cos(00tAvtAx由22xAv说明：（i）位移最大处vnim0，平衡位置处Avmax2)加速度特征1)速度特征：xtAdtxda20222)cos(说明：（i）在位移最大处Aamax2，平衡位置处anim0（ii）xa(ii)“±”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向首页上页下页退出2254.025)(cmAa解102.023)(cmAb例10-2振动曲线如图10－2(a)(b)所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t(s)x(cm)(a)300.20.30.1t(s)X(cm)(b)时，otAxcmtXa)5cos(50a0,0时000v，xtcmtXb)2310cos(3)2(23或首页上页下页退出23例10-3如图，倔强系数为Ｋ的直立弹簧下端固定，上端与物块Ｃ相连，另一物块Ｂ在离Ｃ为h高处自由落下与Ｃ发生完全非弹性碰撞，设两物块质量均为m①试写出该系统的振动表达式②使两物块碰后能一起振动而不分离时h的最大值解：①B物下落h时末速ghv2②B、C发生完全非弹性碰撞，动量守恒：mVmv2③以B，C均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为x轴正向，B，C碰撞完结瞬时开始计时，则该谐振动系的初始条件为：2ghV得20ghvkmgx0BChK首页上页下页退出24mk2式中④因此系统振动表达式为mgkharctgtmkkmghkgmx2cos222gA22222224kgmkmghkgmkmghh得2020vxA则00xvtg⑤两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于g即：kmghkgm22220ghV第三象限mgkhkmgx0gkmghkgmmk2222首页上页下页退出25例10－4一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求：（1）周期T；（2）当速度是12cm/s时的位移。解（1）22xAv22xAv代入有关数值3.206.012.024.0227.32T（2）22vAxm108.03.212.012.022首页上页下页退出26例10－5有一轻弹簧，当下端挂一个质量ｍ1＝10ｇ的物体而平衡时，伸长量为4.9ｃｍ．用这个弹簧和质量ｍ2＝16ｇ的物体连成一弹簧振子．若取平衡位置为原点，向上为ｘ轴的正方向．将ｍ2从平衡位置向下拉2ｃｍ后，给予向上的初速度ｖ0＝5cm/s并开始计时，试求ｍ2的振动周期和振动的数值表达式．解：设弹簧的原长为l0，悬挂ｍ1后伸长Δl，则skmT56.02sradmk/2.11取下ｍ1挂上ｍ2后ｋΔl＝ｍ1gｋ＝ｍ1g/Δl＝2(Ｎ／ｍ)首页上页下页退出27ｔ＝０时，ｘ0＝－2×10-2mｖ0＝5×10-2ms-1mvxA220201005.2)/(解得φ＝tg-1（－ｖ0／ωｘ0）＝12.6°在第三象限，φ0＝180°＋12.6°振动表达式为ｘ＝2.05×10-2cos（11.2ｔ－2.92）（ＳＩ）或取φ0＝180°+12.6°＝192.6°＝3.36rad也可写成φ0＝－2.92rad首页上页下页退出281、旋转矢量的规定法则(1)旋转矢量的制作(2)旋转矢量的作用：使描述谐振动的三个重要参量A、ω、φ0形象化(3)旋转矢量本身不是谐振动若已知一个谐振动X=Acos(t+0)相应的旋转矢量如图所示。习惯上用轴上的投影描述电振动在轴上投影描述机械振动在yAxAA的位置x0t时刻t=0时刻A的位置x0XO三、谐振动的旋转矢量表示法首页上页下页退出292、参考圆、参考点：(1)所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。参考点在坐标轴上的投影才是谐振动（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知:x0,v0,φ在第I象限x0,v0,φ在第Ⅱ象限x0,v0,φ在第III象限x0,v0,φ在第Ⅳ象限同时,其也形象地说明了，对应于每一个x值,有两种可能的运动方向X1x4x2x3x12341v2v3v4v首页上页下页退出30一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间间隔为Δt=t2－t1=Δφ／ω=Δφ·T／2π位相差两个振动在同一时刻t的位相差Δφ=φ2-φ1=(ω