第四章 根轨迹分析法-

第四章根轨迹法分析•4.1概述•4.2绘制根轨迹的基本法则•4.4根轨迹在系统分析中的应用•4.3广义根轨迹4.1概述1.根轨迹的概念2.闭环零、极点与开环零、极点的关系3.根轨迹方程首页4.1概述1.根轨迹的概念R(s)C(s)-)1(ssK图4.1系统方框图例已知二阶系统结构图如图4.1所示，试分析开环增益K的变化对系统闭环极点的影响。KssKs2)(特征方程式：闭环传递函数：02Kss特征根：241212,1Ks4.1.1根轨迹K=0时，s1=0，s2=－1，对应开环极点。0K1/4时，s1、s2都是负实根，如s1=－0.25，s2=－0.75。K=1/4时，s1=s2=－1/2，两个相等负实根。241212,1KsK：0→∞0-1j0.5jωσK=0-j0.5图4-2根轨迹K=0.1875K=0.25K=0.5根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一参数在可能的取值范围内连续变化时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。1/4K∞时，s1,s2为一对共轭复根；K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。4.1.2闭环零、极点与开环零、极点的关系)()()()()(*11*ΠΠsBsAKpszsKsGGibijajG)()()()()()()()()()(*1111*ΠΠΠΠsDsBsCsAKpspszszsKsHsGkdkibilcljaj)()()()()()()()()()()()()(**11*1111*ΠΠΠΠΠΠsCsAKsDsBsDsAKzszsKpspspszsKslcljajkdkibikdkjaj)()()()()(*11*ΠΠsDsCKpszsKsHHkdklclHG(s)H(s)R(s)C(s)-图4.3系统结构图4.1概述2.闭环零、极点与开环零、极点的关系)()()()()()()(ΠΠΠΠΠΠ11*1111*lcljajkdkibikdkjajzszsKpspspszsKs闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点、开环极点及开环系统的根轨迹增益有关。根轨迹增益与开环放大倍数相差一个比例系数。mnsTsKsHsGinijmj,)1()1()()(ΠΠ11inijmjTKKΠΠ11*4.1.3根轨迹方程----绘制根轨迹的依据G(s)H(s)R(s)C(s)-图4.3系统结构图)()()()(ΠΠ11*inijmjpszsKsHsG特征方程0)()(1sHsG根轨迹方程1)()(sHsG开环传递函数)12(1)()()()(ksHsGsHsG幅值条件相角条件1)()(ΠΠ11*inijmjpszsKsHsG)12()()()()(11kpszssHsGniimjj,2,1,0kk为整数4.1概述3.根轨迹方程幅值条件相角条件1)()(ΠΠ11*inijmjpszsKsHsG)12()()()()(11kpszssHsGniimjj相角条件是决定闭环系统根轨迹的充要条件。利用相角条件确定根轨迹上某点的位置；利用幅值条件确定根轨迹上某一点对应的根轨迹增益。满足根轨迹方程的s值为闭环极点，必然在根轨迹上；满足相角条件的点必然在根轨迹上。1)()(sHsG4.1概述幅值条件与相角条件的应用-1.5-1-20.5s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o4.2绘制根轨迹的基本法则(180o根轨迹，K*：0→∞)法则一起始点、终止点及分支数法则二根轨迹的对称性法则三实轴上的根轨迹法则四根轨迹的渐进线法则五根轨迹的分离点法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)法则七根轨迹的分离角与会合角法则八根轨迹与虚轴的交点及临界增益值法则九闭环极点的和首页4.2法则一起始点、终止点及分支数若系统有n个开环极点、m个开环零点，则根轨迹的分支数有n条。它们起始于开环极点，有m条终止于开环零点，尚有(n-m)条终止于无穷远处零点。*111)()(ΠΠKpszsinijmj根轨迹方程起始点K*→0s→pi(n个开环极点)终止点K*→∞s→zj(m个开环零点)01lim)()(limΠΠ11mnsinijmjsspszs(n-m个无穷大零点)4.2法则二根轨迹的对称性法则二根轨迹是连续的且对称于实轴。当根轨迹增益从0→∞连续变化时，特征方程的根也将连续改变，故系统的根轨迹是连续的。由于闭环传递函数为有理分式函数，所以闭环极点只有实根和共轭复根两类，这些极点在s平面上的分布是对称于实轴的。实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数的线段。法则三实轴上的根轨迹0jωσ图4.5某系统零极点分布图p1p2p3p4z1s1θ2θ14.2法则四根轨迹的渐进线当K*→∞时，有(n-m)条根轨迹分支沿着渐进线趋于无穷远处。渐进线与实轴的交点坐标和与实轴正方向的夹角分别为：.)(,,2,1,0个夹角为止直到获得mnkmnzpnimjjia11mnka)12(证明从略。4.2法则五根轨迹的分离点几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或会合点，为了简化可统称为分离点)。分离点的可能之处可由下列微分方程解出：0*dsdK(极值法)或分离点的坐标d可由如下方程解出：mjjniizdpd1111(试探法)如果求得的解满足特征方程或相角条件，则可判定其为分离点。4.2绘制根轨迹的基本法则法则五根轨迹的分离点确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求闭环特征方程式的几重根。将特征方程写成0)(1)()(1*sWKsHsG在重根处应满足0)()]([)](1[***sWdsdKsWKdsdsWKdsd0)(sWdsd将K*表示成复变量s的函数)(1*sWK0)()]([12*dssdWsWdsdK4.2绘制根轨迹的基本法则例已知系统的开环传递函数试绘制系统的概略根轨迹。)2)(1()(*sssKsG解：开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2；无开环零点。实轴上的根轨迹(-∞，-2]，[-1，0]。渐进线n=3，m=0，有三条渐进线。132101mnpniia)1,1,0(60,180,603)12()12(oookkmnka交点相角4.2绘制根轨迹的基本法则解得)(577.12舍去s)2)(1(*sssK0)263(2*ssdsdK分离点0)2)(1(10)(1*sssKsG-3-210-10-1-212)(423.01分离点s4.2法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)nliiilmjjlpppzpkl11)()()12(mljjjlniilzzzpzkl11)()()12(起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴之间的夹角称为起始角。终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴之间的夹角称为终止角。4.2绘制根轨迹的基本法则法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)在pl附近的根轨迹上取一点s1，则s1满足根轨迹的相角条件，即)12()()(1111kpszsniimjj过pl和s1作割线，则割线与正实轴之间的夹角为nliiimjjlpszskps11111)()()12()(s1→pl时，∠(s1-pl)→θpl，则nliiilmjjlpppzpkl11)()()12(0jωσ图4.7根轨迹起始角p1plp3z1s1θpl4.2法则七根轨迹的分离角与会合角法则七根轨迹离开(进入)重极点处的分离角(会合角)按等角性原则来确定，即分离点处分离与会合的根轨迹各个分支之间的夹角等于180o/l，l为分离或会合的根轨迹条数。方法一：特征方程分解法。将s=jω代入特征方程0)()(1jHjG0)]()(1Im[0)]()(1Re[jHjGjHjG解得交点与临界增益值。方法二：劳斯判据法。令劳斯表出现全零行，但第一列符号不变。这时系统处于临界稳定状态。所求出的纯虚根位于根轨迹与虚轴的交点上。法则八根轨迹与虚轴的交点及临界增益值4.2法则九闭环极点的和)()()()(ΠΠ11*inijmjpszsKsHsG开环传递函数)()(ΠΠ1*1jmjinizsKpsniinnnnssasasas1111)(0)()(1111niinnniinssasss当nm时式中si为闭环极点。当n-m≥2时，系统的闭环极点之和等于开环极点之和，且为常数。即111apsiniini当K*变化时，在s平面上一部分根轨迹向左移动，则另一部分根轨迹必然向右移动。4.2绘制根轨迹的基本法则例4-9已知系统的开环传递函数试绘制K*从0→∞变化时系统特征方程的根轨迹。)22)(3()()(2*ssssKsHsG解：开环极点：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j；无开环零点；四条根轨迹分支。实轴上的根轨迹[-3，0]。渐进线n=4，m=0，有三条渐进线。25.141131mnpniia交点)2,1,1,0(135,454)12()12(ookkmnka相角4.2绘制根轨迹的基本法则解得)(3.21分离点s那么0)5.1475.3(423*sssdsdK分离点)22)(3(2*ssssK)(365.0725.03,2舍去js∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不满足相角条件，故s2不是根轨迹上的点，不是分离点。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得4.2绘制根轨迹的基本法则在分离点s1处各根轨迹之间的夹角为180o/2=90o，会合角为0o、180o，故分离角为±90o。根轨迹在p3处的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o与虚轴的交点及临界增益值：采用劳斯判据。闭环特征方程为0)22)(3(*2Kssss0685*234Kssss或劳斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*j1.1-j1.1p1p2p3p4-1.254.2绘制根轨迹的基本法则令劳斯表s1行的首项为零，求得K*=8.16，根据s2行的系数写出辅助方程08.6*2Ks令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。与虚轴的交点为±j1.1，对应的K*=8.16。j1.1-j1.1p1p2p3p4-1.25根轨迹如右图所示。4.2绘制根轨迹的基本法则带开环零点的二阶系统：在复平面上的根轨迹一定是圆或圆的一部分。4.2绘制根轨迹的基本法则根轨迹对称性的一条定理：若开环零极点的个数为偶数，且对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。4.2绘制根轨迹的基本法则4.3广义根轨迹主要根轨迹：指0≤K*∞时的根轨迹(