高二数学教案：不等式期末复习讲义

3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！用途：a、比较两个实数的大小b、证明不等式的性质c、证明不等式和解不等式实数的运算性质与大小顺序之间的关系aba－b0aba－b0a＝ba－b＝0不等式期末复习讲义一、知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc；ab,c0acbc；⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(n∈N)⑧开方法则：ab0,)(Nnbann2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈R＋,那么abba2（当且仅当a=b时等号）推广：如果,ab为实数，则22222ababab3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！•条件为“一正二定三相等”•一正：各项都是正数•二定：求和积定，求积和定•三相等：等号能成立•当等号不成立时，利用下列函数求最值。上递减。上递增，在在函数),a[]a(0,0)(axaxf(x)重要结论1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。4．不等式的解法（1）不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2）不等式axb的解法①当a0时不等式的解集是{x|xb/a}；②当a0时不等式的解集是{x|xb/a}；③当a=0时,b0,其解集是R；b0,其解集是ф。bambmabamba，则：都是正数，且、、结论：已知3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！（3）一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！4（4）绝对值不等式｜x｜＜a（a＞0）的解集是｛x｜－a＜x＜a｝，几何表示为：ºº－a0a｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝，几何表示为：ºº－a0a小结：解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；（2）公式法：|f(x)|af(x)a或f(x)－a；|f(x)|a－af(x)a；（3）平方法：|f(x)|a(a0)f2(x)a2；|f(x)|a(a0)f2(x)a2；（4）几何意义。(5)分式不等式的解法0g(x)0)()(0)()(0)()(0)()(,0)()(0)()(且xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。（7）含有绝对值的不等式定理：|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|•|a|－|b|≤|a+b|中当b=0或|a||b|且ab0等号成立•|a+b|≤|a|+|b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1：｜a1+a2+a3|≤｜a1|+|a2|+|a3|a≤0时结果如何？3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！5推广：｜a1+a2+…＋an|≤｜a1|+|a2|+…+|an|推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|二、常见题型专题总结：专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（C）A、若ab，则|a||b|B、若ab，则1/a1/bC、若ab，则a3b3D、若ab，则a/b12、已知a0.－1b0,则下列不等式成立的是（D）A、aabab2B、ab2abaC、abaab2D、abab2a3、当0ab1时，下列不等式成立的是（D）A、(1―a)1/b(1―a)bB、(1+a)a(1+b)bC、(1―a)b(1―a)b/2D、(1―a)a(1―b)b4、若loga3logb30，则a、b的关系是（B）A、0ab1B、ba1C、0ba1D、1ba5、若ab0，则下列不等式①1/a1/b；②a2b2；③lg(a2+1)lg(b2+1)；④2a2b中成立的是（A）A、①②③④B、①②③C、①②D、③④（二）比较大小1、若0αβπ/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则（A）A、a＜bB、a＞bC、ab＜1D、ab＞22、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)－(an－1+bn－1)的符号是（C）A、恒正B、恒负C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关3、设1＜x＜10，则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2lg2xlg(lgx)4、设a0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。的大小　。、、、试　比较＝，＝，＝，＝是不相等的正数，、、设的大小。－－与－，比较、若的大小。与、比较QHGA2baQ1/b1/a2HabG2baAba71aaNa1aM1a6baab522分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。特殊值3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！6（三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系⑴命题甲：x0且y0，命题乙：x+y0且xy0充要条件⑵命题甲：x2且y2，命题乙：x+y4且xy4充分不必要条件2、已知四个命题，其中a、b∈R①a2b2的充要条件是|a||b|；②a2b2的充要条件是|a|2|b|2；③a2b2的充要条件是(a+b)与(a－b)异号；④a2b2的充要条件是(|a|+|b|)与(|a|－|b|)异号.其中真命题的序号是_。3、“a+b2c”的一个充分条件是（C）A、ac或bcB、ac或b＜cC、ac且bcD、ac且b＜c（四）范围问题1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范围。（五）均值不等式变形问题1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是（D）A、a2+b2≥2|a|•|b|B、(a/2+b/2)2≥abC、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|•|b|)2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是（A）2x1x1x1xA、4)y1(y)x1(xB、C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/23、已知a0,b0,a+b=1，则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为（D）A、6B、7C、8D、94、已知a0,b0,c0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥95、已知a0,b0,c0,d0,求证：4acadbcbdbcad（六）求函数最值1、若x4,函数。时，函数有最＿值是，当_________x41xxy5、大、－62、设x、y∈R,x+y=5，则3x+3y的最小值是（）DA、10B、36C、64D、3183、下列各式中最小值等于2的是（）D1的代换3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！7A、x/y+y/xB、4522xxC、tanα+cotαD、2x+2－x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。5、已知x0,y0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（七）实际问题1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k0)据题设2×2b+2ab+2a=60(a0,b0)aab230由a0,b0可得0a30aaakabky2302令t=2+a，则a=t－2从而1864234)64(346434)2()2(30230222ttttttttttaaa当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18当a=6时,b=3，综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k0)要求y的最小值，即要求ab的最大值。据题设2×2b+2ab+2a=60(a0,b0)，即a+2b+ab=303b6,a302baab2ba18,ab023ab25302ab2ab2ba(222解得及由即，解得－时等号成立）当且仅当abba即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。baBA3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！82、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为