弯矩图补充

弯曲内力分量的正负号规则弯曲内力同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。剪力FQ(FQy或FQz)一使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。FQFQ杆件内力分量的正负号规则弯曲内力FQFQ杆件内力分量的正负号规则弯曲内力剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。qllBAC例题1剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：1．确定约束力llBACqFRBFRAqlFFBA＝＝RR根据平衡条件不难求得：Oyx解：2．确定控制面和分段只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述。llBACqFRBFRA3．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA解：4．确定剪力方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向。0yF0M＝R02AxMxFxqx＝RQ0AFqxFx－＝剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图OyxllBACqFRBFRA解：得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。lxqxqlqxFxFA20RQ－＝＝lxqxqlxxM2022－＝xFQ(x)M(x)FRA剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图#剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图例题2悬臂梁在B、C二处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全长为2l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABCMO=2FPl剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：1．确定控制面和分段通过考察截开截面的右边部分平衡来建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。2．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。FPllABMO=2FPlCOyx剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：3．建立剪力方程和弯矩方程FQ(x)M(x)Q1P00yFFxF＝＝1P1020MMxMFlx＝－＋－＝对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根据平衡方程x1剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图FQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和弯矩方程Q2P00yFFxF＝＝2P2020MMxFlx＝－－＝得到CB段的剪力方程与弯矩方程：FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2BQ2P22FxFlxl＝2P2220MxFlxxl＝－对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。x2剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程－例题综合剪力方程和弯矩方程Q1P10FxFxl＝1P110MxFxxl＝2P2222MxFlxlxl＝－Q2P22FxFlxl＝#剪力图与弯矩图以平行于梁轴线的坐标轴为横坐标，坐标轴上的点表示横截面所在位置；以垂直于梁轴线为纵坐标，表示横截面上的剪力或弯矩——剪力图和弯矩图规定：￭正剪力画在横坐标之上，负剪力则画在之下；这样，剪力图的纵坐标是向上的。￭正弯矩画在受拉一侧，下缘受拉为正，下缘受压为负。这样，弯矩图的纵坐标是向下的。剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程－例题qllBAClxqxqlqxFxFA20RQ－＝＝lxqxqlxxM2022－＝M图BACQ图Oyxqlql0.5ql2剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图FPllABMO=2FPlCQ1P10FxFxl＝1P110MxFxxl＝Q2P22FxFlxl＝2P2222MxFlxlxl＝－FPlFPlFPOyxQ图M图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图绘制剪力图和弯矩图有两种方法。第一种方法：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：先在FQ－x和M－x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图根据相距dx的两个横截面截处微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：qxMFxMqxF＝＝＝22QQdddddd剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图与弯矩图的主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；建立FQ－x和M－x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点；应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。BA简支梁受力的大小和方向如图示。例题31kN.m2kN1.5m1.5m1.5m剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFRAFRB根据力矩平衡方程求得A、F二处的约束力FRA＝0.89kNFRB＝1.11kN剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题6BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRB解：2．确定控制面A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系xFQ/kNOxM/kN.mOBCDE剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题65．根据微分关系连图线顺序连接FQ－x和M－x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题66．确定剪力与弯矩的最大绝对值从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为kN111maxQ.＝FmkN6651max.＝M0.89d1.11e1.11fxM/kN.mOxFQ/kNOb0.89,ca0c0.335BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDEd,e1.665f0b1.335a0.89maxMmaxQF(发生在EF段)(发生在D、E截面上)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题61、可以看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。2、集中力两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，为什么？自行加以验证。0.89d1.11e1.11fxM/kN.mOxFQ/kNOb0.89,ca0c0.335BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDEd,e1.665f0b1.335a0.89maxMmaxQF例题4剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图qBADa4aqaFAyFBy如图梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由00＝，＝BAMM求得A、F二处的约束力qaFqaFByAy4349＝＝,剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7a4aBADqqaFAyFByCOxFQOxM解：2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7OxFQOxM9qa/4aqaqBADa4aFByFAy7qa/4bdqacqaadb,cqa2解：4．确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7qBADa4aqaFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa25．根据微分关系连图线对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7qBADa4aqaFAyFByOxFQOxM5．根据微分关系连图线对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7MEqAExEqaFAy49＝6．确定弯矩图极值点的位置。02004902＝，＝＝，＝EEEyqxMMxqqaF2232812149qaqxMaxEEE＝＝＝OxFQOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题77．确定剪力与弯矩的最大绝对值2maxmaxQ328149qaMqaF＝＝OxFQOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图－例题7注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。用叠加法画弯矩图第9章弯曲内力叠加法作图()()2()()2AAABBBRRRRRRMqlFFMFqlMqlFFMFql支座反力：梁任意截面上的弯矩：2()2122ARxMxFxMqxMqlxMxqxl叠加法作图作法：分别作出各个荷载单独作用下的弯矩图，然后将图形对应处的纵坐标相加，即得荷载共同作用下的弯矩图。+ql2/8MMe单独作用下弯矩图q单独作用下弯矩图ql2/8M-Mql2/8共同作用下弯矩图-+ql2/16