聚合物流变学3

3.线性粘性流动线性粘性流体常被称为牛顿流体，即流动的阻力正比于两部分流体相对流动的速度。牛顿流体——剪切应力与剪切应变速率之间满足线性关系的流体。自然界中的水、空气、各种气体、各种油类以及高聚物的稀溶液都属于牛顿流体。化学工业生产中牛顿流体大多是沿密闭的管道流动。因此研究管内牛顿流体流动的规律是十分必要的。3.1稳定的简单剪切流动①②③Vmaxh剪切速率小τ剪切速率大②①③τVmaxuh①流体；②运动的板，速度为Vmax；③静止板简单剪切流动流体中任一坐标为y的流体运动的速度正比于其坐标y：yvy与上板接触的一层流体的速度正比于流体的高度：hvmax式中，为常数，称为速度梯度hvyvy//maxdyvV+dVdvFh移动层固定层AF剪切应力dydv流体以速度v沿剪切力方向移动，在粘性阻力和固定壁阻力作用下，使相邻液面间出现速度差。设在间距dy的两个层面的速度分别为v，v+dv，则dv/dy是垂直于液流方向的速度梯度hu/为剪切应变，因此也称为剪切速率，单位为s-1由于tuv/(u为位移)：dtddydv对于非简单流动，v并非y的线性函数，这时定义：在y=0处流体静止，而在y=h处速度为vmax而因此，剪切速率也可以理解成间距为dy的液层，在dt时间中相对移动距离，或单位时间内剪切力作用下，流体产生的剪切应变。dtdydxddydtdxddydv)/()/(3.2牛顿定律线性粘性的理论认为，要保持稳定的流动，所需的应力与剪切速率成正比，即式中，η为粘度，是流体的性质，表示流体流动阻力的大小。在c.g.s制中，粘度的单位为泊(P)。粘度的国际单位为1秒·牛顿/米2，用Pa·s表示，而mPa·s等于厘泊水在20℃刚好为1厘泊除了η为粘度外，用η/ρ（密度）称为动力学粘度。在c.g.s制中，粘度的单位为Stocks——St(斯)。1881年国际电气会议上通过了国际电气计量单位草案：规定计量单位为C．G．S制。IEC/ISO国际标准化体系25℃时空气的粘度：η=0.0184cP=1.84×10-5Pa·s1960年以来，国际计量会议以米、千克、秒制为基础，制定了国际单位制（简称SI）。1977年5月，我国明确规定基本计量制是米制（即公制），逐步采用国际单位制”。1981年4月，正式采用国际单位制。国际单位制的符号为SI,来自法文的leSystèmeinternationald'unités流体粘性越大，其流动性就越小。从桶底把一桶甘油放完要比把一桶水放完慢得多，这是因为甘油流动时内摩擦力比水大的缘故。水甘油3.3线性粘性变形的特点变形的时间依赖性–流体的变形随时间不断发展σθtθtdtd//t如考虑变形，则流体的变形随时间不断发展dtd/在流体试样上瞬时施加一个应力σ0，然后保持不变，再在某时刻θ移除应力流体变形的不可回复性–当外力移除后，变形保持不变，分子链之间滑移的不可回复性能量散失–外力对流体做的功转化为热量散发正比性–线性粘性流动应力与应变速率成正比，粘度与应变速率无关3.4流动方式3.4.1圆管中流体的稳定层流(Laminarflow)3.4.2库爱特流动（Couetteflow）3.4.3椎板流动(Coneandplateflow)3.4.4扭转流动(Torsionalflow)3.4.5狭缝流动(Slitflow)3.4.6落球法(FallingBallMethod)─斯托克斯法(StokesMethod)什么是柱坐标系思考：如图，在圆形体育馆内，如何确定看台上某个座位的位置？之间的一种对应关系。了空间的点与有序数组表示。这样，我们建立的位置可用有序数组标，这时点上的极坐在平面表示点用平面上的射影为任意一点，它在是空间设坐标系一般地，建立空间直角),,())(,,()20,0(),(,,zrRzzrPOxyQrrQOxyPOxyzxzyrxozQ),,(zrPzyzxozrozrzrPPzr，－，其中的柱坐标，记作叫做序数组有坐标系叫做柱坐标系，把建立上述对应关系的200),,,(),,(柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的。思考：1、给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置。2、举例说明柱坐标系在日常生活中的应用。之间的变换公式为与柱坐标的直角坐标空间点),,(),,(zrzyxPzzryrxsincos坐标是？则它的柱的直角坐标是、设点练习：),3,3,1(1M)3,34,2(zyrxozQ)3,3,1(MzyrxozQ)7,6,2(M求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2M)7,1,3(3.4.1圆管中流体的稳定层流(Laminarflow)Rlrz采用柱坐标(r,θ,z)，z轴与圆管的轴一致，r与z轴垂直。所谓层流流动，或称Poiseuille流动，指流体仅沿z轴方向流动，没有沿r或θ方向的流动。0vvrvz是质点离圆管轴的距离r的函数，根据粘附条件，与圆管接触的流体层是静止的，即)(rvvzz0)(Rvz层流流动可看作圆管中许多无限薄的同心圆柱状流体薄层的流动。离轴r的一层圆柱状流体，外表面流体对其施加的剪切力为trz，总力为rzrzrltAtrf2)(式中，A为圆柱体表面的面积，f(r)为流动的阻力，为了保持稳定的层流流动，必须对圆管两端面的流体施加压力差ΔP，总力为(ΔP)πr2,使得：0)(22rPrltrz由此得lPrtrz2/)(如果层流稳定，剪切应力是r的线性函数如果流体是牛顿流体，则剪切应力正比于剪切速率，即drdvtzrz将上两式合并，得lPrdrdvz2)(用边界条件vz(R)=0解上列方程，有))(4/()(22rRlPrvz圆管中的层流流动的流速分布为一抛物线函数，而剪切速率则是r的线性函数。在圆管的轴心处vz具有最大值，而dvz/dr为零，在管壁处则相反，vz=0，而dvz/dr具有最大值。速度分布剪切速率rrdrvdQz2通过从r到r+dr的环状圆柱体的流体流量（单位时间流过的流体体积）为-RRVzrrrσlPRQ8/4积分得上式称为哈根—泊肃叶（Hagen-Poiseuille）方程rdrrRlPdQQQR22002/通过整个截面的流量为48RlQP此方程可写成QlPR843max4RQ当r=R时，即管壁上lPrdrdvz2)(3.4.2库爱特流动库爱特（Couette）流动是发生在两个同心的圆筒间，外圆筒和内圆筒之间环形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度ω（rad/s）作圆周运动，没有沿z或r轴方向的流动，ω仅与r有关而与θ及z无关，即)(r这里仍采用圆柱坐标r，θ，z；z轴为内外管的轴向。2R12r2R2Couette流动流体h内圆筒外圆筒Ωdrrddrdv由于只存在绕轴的圆周运动，所以trz=tθz=0，只存在一个剪切应力trθ剪切速度为hrtrMr22)(要保持这一流动，对离轴r的流体层必须施加扭矩M(r)：2222122212)(rRRRRrr式中，h为内外圆筒的高度。设流体为牛顿流体，又设内圆筒固定，外圆筒以角速度Ω旋转，则)(2)()(212222221RRrRRdrrrdr222121224)(RhRRRM因为所以hrMrtr22/)(rRRRRrv222122212在固定圆筒壁上r=R10,0)(vr在转动圆筒内孔壁上r=R22,)(Rvr剪切速率有21222212,RRRRr21222122,RRRRr显然)()(21RR剪切应力与剪切速率方向相反vηCouette流动中的速度分布R1R2RCouette流动中的剪切速率球坐标系简介思考：在航天领域，人们怎样确定航天器的准确位置呢？yoPQXZ系，之间建立了一种对应关有序数组表示，这样，空间点与数组点的位置就可以用有序，这样正角为时所转过的最小轴按逆时针方向旋转到，平面上的射影为在，设向所夹的角为轴正与，＝，记任意一点，连接是空间设坐标系一般地，建立空间直角),,(),,(,rrPOQOxQOxyPOzOPrOPOPPOxyz20,0,0),,,(),,(rrPPr其中坐标，记作的球叫做点组间极坐标系），有序数系叫做球坐标系（或空把上述对应关系的坐标称为高低角－的方位角，被测点称为球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天090),,(rPyxoQ),,(rPzr思考：在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？思考：1、请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位置2、举例说明球坐标系在日常生活中的应用。yozxφθr空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，θ，φ）之间的变换公式为θrzθryθrxcossinsincossin求它的直角坐标。、设某点的球坐标为),43,43,2(),,(3r)2,1,1()4,43,2(),4,45,2()45,4,2(),4,4,2(),2,1,1(4、、、、为则它的球坐标的坐标为、设点DCBAM()B3.4.3锥板流动(Coneandplateflow)ΩRα圆锥平板锥板流动θφzyrx锥板流动发生在一个圆锥体和圆盘之间。圆锥与平板之间的夹角α很小，一般小于4℃。通常圆锥体以角速度Ω旋转，它的轴与圆盘垂直，也是圆锥体的旋转轴。对锥板流动，采用球面坐标进行分析。在锥板流动中，剪切面为具有相同θ坐标的圆锥面，速度梯度方向为θ方向。流体流动的方向为φ方向，即切线方向，用ω表示：在圆锥体表面：2θφzyrx20在平板表面：在锥板流动中剪切速率定义为dddd/当α4º时，可近似把锥板之间的流动认为简单剪切流动，即角速度ω是θ坐标的线性函数积分得2)(在锥板流动中是常数，这对于研究牛顿流体的粘度的剪切速率依赖性十分有利。在锥板流动中，剪切力作用在θ面上，方向为φ方向，因此应力分量tθφ，根据牛顿定律/t转矩是r的函数，从r到r+dr的圆锥面上的圆环上的剪力为rdrtdf2drrdrrtrdfdM2222积分得总转矩M：3/23RM因此32/3RM32/3RMt-αΩ0ω-π/2π/2θ锥板流动中的速度分布Ω/αωθ锥板流动中的剪切速率3.4.4扭转流动(Torsionalflow)流体试样ΩRh平板drRvσr非零剪切应力分量为tzθ，作用在z面上，方向为θ方向，即切线方向，在扭转流动中，只有θ方向流动，即0vvθ随z坐标变化，因此剪切速率为：0rzvvdzrddzdvdzhrdzrd式中ω为角速度，扭转流动中的剪切速率hrzh为r的线性函数。角速度ω为扭转流动中的剪切速率RΩ/h0Rr扭转流动中的角速度Ωωz0Phrtz/也与r坐标有关。在圆盘上取从r到r+dr的圆环，剪切力为rdrtdfz2由于与r坐标有关，因此积分得drrhdrrtrdfdMz3222hRM2442RMh3.4.5狭缝流动(Slitflow)流体在长为l，高度h，宽度w的狭缝中流动。流动方式为稳态的简单剪切流动。用迪卡尔坐标系分析该流动方式，非零剪切应力分量为tyz：HLWxy