2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1.2 第2课时 Wor

第2课时导数的运算法则学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一和、差的导数已知f(x)＝x，g(x)＝1x.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)思考1f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2.思考2试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．答案∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx，∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx.∴Q′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01－1xx＋Δx＝1－1x2.同理，H′(x)＝1＋1x2.Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．梳理和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．知识点二积、商的导数(1)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．②[cf(x)]′＝cf′(x)．(2)商的导数fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，fxgx′≠f′xg′x.1．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(×)2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(√)3．当g(x)≠0时，1gx′＝－g′xg2x.(√)类型一利用导数的运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－1x2；(3)y＝(x2＋3)(ex＋lnx)；(4)y＝x2＋tanx；(5)y＝exx＋1.考点导数的运算法则题点导数的运算法则解(1)y′＝6x＋cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝(lgx)′－(x－2)′＝1xln10＋2x3.(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋lnx)＋(x2＋3)(ex＋lnx)′＝2x(ex＋lnx)＋(x2＋3)ex＋1x＝ex(x2＋2x＋3)＋2xlnx＋x＋3x.(4)因为y＝x2＋sinxcosx，所以y′＝(x2)′＋sinxcosx′＝2x＋cos2x－sinx－sinxcos2x＝2x＋1cos2x.(5)y′＝ex′x＋1－x＋1′exx＋12＝exx＋1－exx＋12＝xexx＋12.反思与感悟(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数．(1)y＝2x3－3x＋x＋1xx；(2)y＝x2＋1x2＋3；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．考点导数的运算法则题点导数的运算法则解(1)∵y＝232x－312x＋x－1＋32x，∴y′＝312x＋3232x－x－2－3252x.(2)方法一y′＝x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′x2＋32＝2xx2＋3－2xx2＋1x2＋32＝4xx2＋32.方法二∵y＝x2＋1x2＋3＝x2＋3－2x2＋3＝1－2x2＋3，∴y′＝1－2x2＋3′＝－2x2＋3′＝－2′x2＋3－－2x2＋3′x2＋32＝4xx2＋32.(3)方法一y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.类型二导数公式及运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例2(1)已知函数f(x)＝lnxx＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用解(1)由题意得f′(x)＝1－lnxx2＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1－ln11＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.∴f(x)＝lnxx－2x.∴f(e)＝lnee－2e＝1e－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝1e－2e＋20，得f(e)f(1)．(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又∵f′(x)＝xcosx，∴a－d－cx＝0，ax＋b＋c＝x，即a－d＝0，－c＝0，a＝1，b＋c＝0，解得a＝d＝1，b＝c＝0.反思与感悟(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2函数f(x)＝x2x－1＋2f′(1)x，则f′(0)＝________.考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案1解析对f(x)求导，得f′(x)＝2x－1－2x2x－12＋2f′(1)＝－12x－12＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.命题角度2与切线有关的问题例3已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用解(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7.又g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.反思与感悟(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3(1)设曲线y＝2－cosxsinx在点π2，2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案(1)1(2)4解析(1)∵y′＝sin2x－2－cosxcosxsin2x＝1－2cosxsin2x，当x＝π2时，y′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－1a，∴－1a＝－1，即a＝1.(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2.又∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.1．设函数y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案B解析y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，故π=4|xy'＝12，∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12.3．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．－1B．0C．1D．2考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案A解析因为f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，所以f′(x)＝f′(－1)x－2.所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.4．已知f(x)＝exx，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案12解析因为f′(x)＝ex′x－ex·x′x2＝exx－1x2(x≠0)．所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得0exx0－1x20＋0exx0＝0.解得x0＝12.5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案－3解析y＝ax2＋bx的导数为y′＝2ax－bx2，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－72.由题意得4a＋b2＝－5，4a－b4＝－72，解得a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．3．积、商的求导法则(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)；(3)当f(x)＝1时，有1gx′＝－g′x[gx]2(g(x)≠0)．一、选择题1．下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.sinxx2′＝sinx′－x2′x2D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案A解析A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′错误；C项中，sinxx2′＝sinx′x2－sinxx2′x22错误；D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′错误．2．若函数y＝x2＋a2x(a0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于()A．aB．±aC．－aD．a2考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案B解析y′＝x2＋a2x′＝2x·x－