理论力学9-拉格朗日方程

第九章拉格朗日方程运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立9-1-2典型问题1.一般形式n个质点。对有im9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立0iNiiimFFa0iNiiimFFar12ii,,...,nr给,则有而双面理想约束0NiiFr故有0iIiiFFr动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格朗日原理(9-1)不论约束完整，定常与否均适用。则有12i,n2.广义坐标形式设完整约束系统有k个自由度，可取为广义坐标。123kq,q,q...q,12kq,q,...,q,tiirr9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立1kiijjjqqrr则代入式(9-1),交换i，j次序，得10jjk*QQjjFFq广义主动力广义惯性力1jniQiijFqrFddjn*iQiii=1jF=-mqra式中因各线性无关故有jq0*jjQQFF1,2,jk（）(9-2)等价形式仅jFW=00jq1,2,jk（）(9-3)9-1-1方程的建立9-1动力学普遍方程式中包含了惯性力虚功!9-1-2典型问题12P,P,q,,r,1.已知重量轮转动惯量，求加速度?Ja加惯性力，受主动力如图。给连杆，则rrr12122sin220PPrPPraarJggr2122122sin22P+Pgra=P+Pr+Jg由有0(r)FW,1p2p1parrJ1pag1pag2pagJ9-1动力学普遍方程1.由动能定理求导，如何求解?2.如何求约束力?2.已知重量轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。12G,G,q,r,O2G1Gr9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程加惯性力，受力如图。选广义坐标。,x由00xFW=0,,x12211cos0GGGaxrxaxggg有即cos2121rGaGG(a)又由有000FW,x,2222121cossin02GGGrrrarGrgggO2G1Gr1ax11Gga2Ggr21Gga2212Ggr9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题212122sin232sinGgaGGG式(a)代入(b),可得令时，牵连惯性力并不为零；0x21Gag令时，相对惯性力并不为零，两者相互独立。02Grg0sincos232122gGagGrgG(b)即9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题3.均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。12m,m,r,图(a)CAr1O2r1m2m9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，12,图(b)CA1O2令120,0，由2()0FW1212,CCvrrarr(a)有22222()0CCmgmarJ(b)10ma1mg1OJ2mg2CJ2Cma129-1动力学普遍方程9-1-2典型问题将式(a)及22CJmr代入(b)式，得12(2)rg(c)再令120,0由1()0FW有联立(c)和(d)式，可得221011212(23),32(3)Cmgmmgarammmm101011221()0CmarJmamgr即1212223()2mrmrmrmg(d)图(b)CA1O210ma1mg1OJ2mg2CJ2Cma129-1-2典型问题9-1动力学普遍方程对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?2.用动力学普遍定理如何求解?3.计入滑轮A质量,结果有何变化?9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程9-2拉格朗日方程对于完整约束系统，动力学普遍方程为(1,2,)jj*QQF+F=0j=...k不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。jQF9-2-1两个经典微分关系第九章拉格朗日方程将能量化导出拉氏方程。j*QF9-2-2拉氏方程基本形式9-2-4拉氏方程的应用再对广义速度jq求偏导数，得式(9-7)表明，ijqr可对的分子与分母“同时消点”。1(,,,),iiktqqrr因对时间t求导数，1kiiilllqqtrrr得(9-6)iijjqqrr(9-7)1)“同时消点”iijjqqrr证明:9-2-1两个经典微分关系9-2拉格朗日方程n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，12(1,2)iik=q,q,...q,ti,...,nrrddiijjtqqrr2)“交换关系”(求导)将式(9-6)两边对广义坐标jq证明:求偏导数，有1kiiilljljjqqqqqtrrr而1d()()dkiiilljljjqtqqqqtrrr比较以上两式，可得d()diijjtqqrr(9-8)式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。9-2拉格朗日方程9-2-1两个经典微分关系9-2-2拉氏方程基本形式jn*iiQii=1j-F=mqrvddiiiiiijjmmtqqvvvvddddiiiiiijjmmtqtqrrvv22d11d22iiiijjmmtqqvvddjjTTtqq9-2拉格朗日方程为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，需2k个初始条件。jq00jjq,q故ddjQjjTT=Fj=1,2,...ktqq关于的计算jQF由(见下述例题中)jjFQjWFq(仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)9-2拉格朗日方程9-2-2拉氏方程基本形式9-2拉格朗日方程9-2-3势力场中的拉氏方程若有势主动力jQjVFq引入拉格朗日函数又称动势。注意，有:VTL0jVqd01,2,...djjLLjktqq此为势力场中第二类拉氏方程，是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组。ddjjjTTV-=-tqqq则有9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用1.图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰接。已知12312m,m,m,r,r,k,微分方程及圆频率。试求系统微振动0应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程形式。xkA1r1mg3mg2r2mgB9-2拉格朗日方程222212333114422LTVmxmxmxkx1233322LmmmxxLkxx，代入拉氏方程d0dLLtxx中，有12333022mmmxkx即12320332kxxmmm为所求微分方程。kA1r1mg3mg2r2mgB系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?2.试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。与简谐振动微分方程200xx对比可知振动圆频率01232332kmmmkA1r1mg3mg2r2mgB9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。2.如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J，其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为12,mm不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度。①判断系统的自由度，取广义坐标。本题中，2k，取12,qq为广义坐标，1m2mRM1q2q9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用②计算系统的T与jQF111221(2),TJmqqqqR2221211222111()222qqTmqmqJR2212222(2),TJmqqqqR1(1)1FQWFq2222222qMmgqMRmgqR10Tq20Tq11111qMmgqMRmgqR2(2)2FQWFq1m2mRM1q2q则有122,Rqq122Rqq122,Rqq122Rqq9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用③代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入111ddQTTFtqq中，得111212(2)JMmqqqmgRR(a)代入222ddQTTFtqq中，得22122222(2)JMmqqqmgRR(b)④解方程，求加速度。21(a)(b)2mm，得122112221122(4)3(4)qqMmmgRmmRJmmRmm1m2mRM1q2q9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法的特点。完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。9-2拉格朗日方程题型特点:9-2-4拉氏方程的应用3.如图所示，物A重为，物B重为1G2G，刚度系数为k，其O端固定于物A上，另一端与物B相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。弹簧kAOB1G2G9-2-4拉氏方程的应用9-2拉格朗日方程22212112212121211(2212cos)()sin2GGxxxggxxGGxkx(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t，有系统处于势力场中，是保守系统，且自由度为2，取A的绝对位移,B的相对位移2x1xLTV122121cosGGGLxxxgg121()sinLGGxkAOB1G2G1x2x9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用将以上各项代入下列拉氏方程1122d0dd0dLLtxxLLtxx得1221212cos()sin0GGGxxGGgg(a)22212cos0GGxxkxgg(b)22212cosGGLxxxgg22LkxxkAOB1G2G1x2x9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用由式(a)和式(b)消去1x，得2202xxD(c)其中2121202221212()()sincos,(sin)sinkgGGGGgDGGGGG由式(c)解得2102020cossinDxCtCt由0t时，220xx得1220,0DCC故220sin2(cos1)2Gxtk(d)kAOB1G2G1x2x9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得2210212s