理论力学――运动学

运动学主要研究对象:点、刚体主要研究内容:运动方程、速度、加速度1、矢量法矢量形式表示的点的运动方程：)(trr运动轨迹：矢径r的矢端曲线。r为点M相对于原点O的矢径。点的速度定义为：tddrv沿r矢端曲线的切线，指向动点前进的方向。’’””点的加速度定义为：22ddddttrv=a点的加速度指向轨迹曲线凹的一侧。八、点的运动2、直角坐标法点的直角坐标形式的运动方程：)()()(321tfztfytfx消去时间t得轨迹方程。kjirzyxk+j+ivzyxzvyvxvzyx点的速度zvayvaxvazzyyxx点加的速度xvvxyzyzai+vj+ki+j+k3、自然法用自然法描述的运动方程：)(tfs点的速度ττvvs//点的加速度切向加速度反映速度大小变化当aτ与v同号时，点作加速运动，否则作减速运动。法向加速度反映速度方向的变化2ddτnτnvvaataaaτnτnP12题222222)()dd(vtv+aaanτnτaatan加速度a的大小：加速度和主法线所夹的锐角的正切：ττasvτna2vn4、直角坐标于自然坐标之间的关系：22222)dd()dd()dd()dd(tztytxtsv222222nzyxaaaaaa2221vaa5、匀速、匀变速公式（1）＝常数，τa)(22102022000ssavvtatvsstavvττ（2）v=常数，s=so+vt已知运动方程，求导，求得速度、加速度。已知加速度，运动的初始条件，积分，可求得速度、运动方程。解题步骤：1、运动分析2、建立坐标系3、建立运动方程4、求解未知量P11是非题1-4P12题3偏心轮平底推杆机构OCMB例曲杆OAB绕轴O转动，使套在其上的小环M沿固定且OA和AB垂直。求60时小环M的速度和加速度。直杆OC滑动。已知曲杆的角速度0.5rad/s，100mmOA解：AxcoslxM2cossinddltxvMM2422cossincosddltvaMM60mm/s2.173Mv2mm/s350Ma九、刚体的基本运动（1）刚体平动的定义刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动。1、刚体的平动(2)平动刚体的运动特点刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图2、刚体的定轴转动(1)定轴转动定义刚体运动时，若其上(或其延伸部分)有一直线始终保持不动，则称刚体作定轴转动。该固定不动的直线称为转轴。(2)刚体绕定轴转动运动描述刚体的转动方程:)(tf转角的符号规定：迎z轴的正向看，逆时针转向为正，反之为负；或用右手法则确定。角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。角速度单位为rad/s。角加速单位为rad/s2。30π60π2nn用转速n（r/min）来表示转动的快慢，角速度与转速之间的关系是：(3)匀变速转动和匀速转动t0等于常量，20021tt)(20202t0等于常量，刚体转动判别：Ⅱ260OⅠ112ⅠⅡ转动刚体内任一点的速度，其大小等于转动半径OM与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线，指向刚体转动的一方。(3)转动刚体内各点的速度和加速度Rv速度分布图点的速度:点的加速度Ra2Ran4222Raaan2tan点的切向加速度和法向加速度加速度分布图（1）转动刚体内各点加速度的大小，与该点的转动半径成正比。（2）转动刚体内各点的全加速度与其转动半径具有相同的夹角，并偏向角加速度转向的一方。P207题4（4）角速度矢和角加速度矢及点的速度和加速度的矢积表示角速度矢与角加速度矢角速度矢：以k表示沿转轴z正向的单位矢量，则转动刚体的角速度矢可写成：kω角加速度矢：kωkα2．用矢积表示点的速度和加速度用矢径表示转动刚体上任一点M的位置，则点M的速度：rωv点M的加速度为：rωrωrωva)(ddtnaavωrα1×anaτ（5）轮系的传动比传动比：主动轮的角速度与从动轮的角速度之比。12III1212两齿轮的啮合点具有共同的速度和切向加速度：传动比：211212212112nnzzRRiP10是非题6、7P12题41驱动轮Ⅰ以不变的角速度转动，试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。1r2r录音机磁带厚为，图示瞬时两轮半径分别为和，若例112解：2112rr2112rr22212121rrrrr222211rArAdd2ddd2d2222211111trrrAtrrrA211221122dd2ddrrtrtr解得：)(122221221rrr十、点的合成运动研究内容：一个点相对于两个以上坐标系运动时，运动量之间的关系。特点：动点相对于一个物体有相对运动。规定动点：所考察的点。静坐标系Oxyz：固连于地球上的坐标系。动坐标系O’x’y’z’：建立在相对于静系运动的物体上的坐标系。静系一般可不画出来，动系也可不画，但一定要指明在哪个物体上建立动系。动点、动系的选择原则是：（1）动点相对于动系有相对运动。（2）动点的相对轨迹应简单、直观。绝对运动：动点相对于静系的运动。在静系中看到的动点的轨迹为绝对轨迹。相对运动：动点相对于动系的运动。在动系中看到的动点的轨迹为相对轨迹。动点的绝对速度：avaa，绝对加速度动点的相对速度：rvra，相对加速度牵连运动：动系相对于静系的运动。牵连运动可以是平动、定轴转动或复杂运动。牵连点：动系上和动点瞬时重合的点。牵连点的速度：evea，牵连点的加速度：解题步骤：1、取动点、动系；2、运动分析；3、作速度、加速度合成图；4、列出矢量式；5、求解未知数。解题关键：动点、动系的正确选择。1、动点的类型（1）两运动部件的关联点，取确定的关联点为动点。（2）两构件用小环、销钉连接，取小环、销钉为动点。P12题2P14题13P12题1P16题1（3）两运动部件之一是圆盘，取圆心为动点。P15题1（4）其它情况。P13题7P165题3reavvv2、点的速度合成定理：作速度合成图的步骤：(1)作大小、方向已知的速度(2)作已知方向线的速度(3)作速度平行四边形，va为对角线。（1）牵连运动为平动3、点的加速度合成定理reaaaa（2）牵连运动为转动CreaaaaareC2vωaeCrrCeCer0Ca（2）情况：(1)时。此时动系作平动。0eω(2)时。即某瞬时的相对速度为零。0rv(3)∥时，此时。eωrv0sin注意：（1）合矢量的投影等于各分矢量投影的代数和。P16题1P215题2P22题7P26题121、平面运动的定义刚体运动时，若其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变，则称刚体的这种运动为平面运动。平面运动刚体上各点的轨迹都是平面曲线。十一、刚体的平面运动//)()()(321tftfytfxAA2、刚体平面运动的运动方程。平面运动随基点的平动绕基点的转动=+绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速度、角加速度。P13题11P15题63、平面图形上各点的速度（1）速度基点法vM=vo+vMO最一般的方法（2）速度投影定理MOOMOM''')()(vv（3）速度瞬心法MIvM取瞬心I为基点，P13题9P15题5P17题2nOMOMOMaaaa4、平面图形上各点加速度分析的基点法求解平面运动问题的关键，利用平面运动刚体和平动、转动刚体的连接点，进行运动分析。P15题4、7P198题7分析运动的方法1.直接法取坐标建立运动方程，再求运动量。运动方程：点的运动方程（包括刚体平动），定轴转动方程，十二、运动学综合问题举例平面运动方程。2.合成法（1）点的合成运动(常用于求瞬时值)的方法求运动量。动系可能的运动：平动；绕定轴转动；两运动部件存在相对运动，取动点、动系，用合成运动平面运动。（2）刚体平面运动的平动加绕基点的转动。在基点上建立平动坐标系，将平面运动分解为随基点P27题13P18题4P14题13P17题2套内，并可沿导套滑动，求图示位置杆AB的角速度和角加速度。例图示机构中，杆AB的A端与齿轮中心铰接，齿轮沿齿条向上滚动，其中心速度vA=160mm/s；杆AB套在可绕轴O转动的导ωABOAB80mm60mmvavevr解:杆AB作平面运动，滑块O相对于杆AB有相对运动。mm/s9653160sinmm/s12854160cosaraevvvv以点A为动点，动系固结在导套O上va=vA方法一合成法revvvarad/s28.1100128eOAvABOAB80mm60mmωABαABarξeaneaaCCreeaaaanτ02rreCmm/s2469628.1222vvaABCe0aa2Cemm/s246aa2erad/s46.2100246OAaAB由点的加速度合成定理，有将加速度矢量方程式向ξ轴投影，tan80Ay2cos80Ay2cos80Av32cossin3200cossin40AAvvmm60Ay5/4cos5/3sin，2322rad/s46.2)54(533200160rad/s28.1)54(80160ABABA点的运动方程=vA方法二直接法以点O为坐标原点，建立直角坐标系。OAB80mm60mmxy