理论力学全套课件、测试题及答案

理论力学§4–1点的合成运动的概念§4–2点的速度合成定理§4–3点的加速度合成定理习题课第四章点的合成运动前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？概述我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。§4-1点的合成运动的概念一．坐标系：1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。二．动点：所研究的点（运动着的点）。2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的小车。三．三种运动及三种速度与三种加速度。绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度aaevearvraav牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。点的运动刚体的运动１．绝对运动：动点对静系的运动。２．相对运动：动点对动系的运动。例如：重物相对小车的运动；人在行驶的汽车里走动。３．牵连运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的小车相对于地面的运动。下面举例说明以上各概念：动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平动绝对运动：直线evrvav绝对速度：相对速度：牵连速度：绝对加速度：aara相对加速度：ea牵连加速度：四．动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。五．动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在O'A1摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。§4-２点的速度合成定理速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。当tt+△tABA'B'MM'也可看成MM１M´MM'为绝对轨迹MM'为绝对位移M1M'为相对轨迹M1M'为相对位移一．证明aervvv1MM＝'MM＋'1MMt将上式两边同除以后，0t时的极限，得取tMMtMMtMMttt10100limlimlim说明：va—动点的绝对速度；vr—动点的相对速度；ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。II)动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。速度合成定理：矢量求导法kjirzyxkjirrzyxMOMrrr在图示瞬时，，rM’表示牵连点的矢径。MMrrkjikjirrrrvzyxzyxdtddtdOOMa)(动点的绝对速度动点的相对速度kjikjirvzyxzyxdtddtdr)(~根据牵连点的概念，其在动系中的坐标x’、y’、z’是不变的，故动点的牵连速度为kjirkjikjirrrrvzyxzyxzyxdtddtdOOOMe)(va=ve+vr所以例1曲柄滑道机构如图，曲柄长OA=a，以等角速度绕O轴转动，其端点用铰链与滑道中滑块A相连，并带动连杆作往复运动。试求当曲柄与连杆成角时连杆的速度。二．应用举例解：选滑块A为动点，选连杆为动系；地面为定参考系。显然ava方向如图。由速度合成定理va=ve+vr由几何关系sinsinavvae连杆的速度大小sinavvavevr例2曲柄摆杆机构。已知：OA=r,,OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B角速度1解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。绝对速度va=r方向OA相对速度vr=?方向//O1B绝对速度va=r方向OA相对速度vr=?方向//O1B牵连速度ve=?方向O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（）由速度合成定理va=vr+ve作出速度平行四边形如图示。由速度合成定理va=vr+ve，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，静系固结于基座。绝对速度va=?待求，方向//AB相对速度vr=?未知，方向CA牵连速度ve=OA=2e,方向OA（翻页请看动画）)(332332300evetgvvABea例3圆盘凸轮机构。已知：OC＝e,,（匀角速度）。图示瞬时,OCCA且O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。eR3例4汽车A以km/h的速度沿直线道路行驶，汽车B以km/h的速度沿另一叉道行驶。试求在汽车B上观察到的汽车A的速度。40Av6.56Bv解：取汽车A为动点，将动系连于汽车B，静系连于地面。reavvv45cos222eabarvvvvv707.06.564026.56402240（km/h）145sin406.5645sinsinrevv90由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和静系。三种运动的分析。三种速度的分析。根据速度合成定理作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。eravvv动点、动系和静系的选择原则动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。课堂练习1．如图所示，曲柄OA长0.40m，以匀角速度ω=0.5rad/s绕轴O逆时针方向转动，通过曲柄的A端推动滑杆BC沿铅直方向运动。试求当曲柄OA与水平线的夹角φ=30°时，滑杆BC的速度。课堂练习2．滑块A由一绕定轴O转动的摇杆OB带动沿直线导轨运动，如图所示，设摇杆的瞬时角速度ω，轴O至直线导轨的距离为h。试求滑块A的速度的大小（表示为摇杆的转角φ的函数）。分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。例5已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。;30,v解:取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上,静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:,方向vvaOCOCve方向待求未知,,方向未知,rvOA如图示。根据速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形rvvrrve6333212vvvae33tg（）,2sinrrOCve又§4-3加速度合成定理reavvv由速度合成定理''''''kdtdzjdtdyidtdxvr而kdtdzjdtdyidtdxvvOa'''设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。一、牵连运动为平动时'',OeOeaavv由于牵连运动为平动，故对t求导：''''''222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaa0',0',0'dtzddtyddtid(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以）',','kji'''''',222222''kdtzdjdtydidtxdaaadtvdreOO又reaaaa—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。naaanrrneenaaaaaaaa∴一般式可写为：解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。例6已知：凸轮半径求：φ=60o时,顶杆AB的加速度。ooavR,,请看动画绝对速度va=?,方向AB；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr=?,方向CA;相对加速度art=?方向CA,方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形,如图示。003260sinsinvvvvoerRvarnr/2因牵连运动为平动，故有nreaaaaarRvRvRvarnr34/)32(/20202其中作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得nreaaaacossin60sin/)3460cos(sin/)cos(200Rvaaaanrea整理得)38(33200RvaaaaABn课堂练习1．曲柄滑杆机构，曲柄OA=0.1m，ω=4t(rad/s)，滑杆上有圆心在套杆BC上、半径R=0.1m的圆弧形滑道。当t=1s时，曲柄与水平线夹角φ=30º。求此时滑杆BC的速度v和加速度a。解：选取滑块A为动点，动系连于滑杆BC上，定系连于机架。4.041.0OAvam/s4.0evvm/s4.0aervvvm/s由题意，曲柄的角加速度为4)4(tdtddtdrad/s2OAaa2OAanaRvarnr/2牵连运动为平动nrrenaaaaaaa将上式向A点的法线方向投影nrenaaaaaa30cos60cos30cosRvaOAOAre2230cos60cos30cos18.3eam/s2例7平底顶杆凸轮机构。偏心凸轮以等角速度ω绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。设凸轮半径为R，偏心距OC=e，OC与水平线的夹角为α，试求当时，顶杆AB的速度和加速度。45解：取凸轮的中心C点为动点，动系连于顶杆AB，静系连于地面。evvae2245cosevveAB22reavvv由点的速度合成定理由加速度合成定理，注意到牵连运动为平动，有reaaaa22245coseaaae222eaaeAB设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？二、牵连运动为转动时选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动Rvavrrr2,常数有相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出常数rreavRvvvRaRvee2,（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点rrraavRvRRvRRva2