理论力学动能定理

§13-1力的功时，正功；2时，功为零；2时，负功。2WFS一．恒力的功单位：焦耳（J）：1J=1N1m力的功是代数量。二．变力的功δdWFr元功：变力F在曲线路程中作功为21MM21dMMWFrcosFSxyzFFiFjFk在直角坐标系中，知ddddrxiyjzk变力F在曲线路程中作功为21MM21dMMWFr三．合力的功221112d()dMMnMMWRrFFFr22211112dddMMMnMMMFrFrFrn21即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。21dddMxyzMFxFyFz1．重力的功2112()dzzWmgz对于质点系，重力作功为1212iWW故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。0,0,xyzFFFmg取z轴铅垂向上，则：四．几种常见力的功12()iiimgzz12()CCMgzz12()mgzz设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径的单位矢量为0()rFkrle/rerr2112dMMWFrddrrerrr21120()drrWkrlr221212()2kW则故弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关，与力作用点的路径无关。2．弹性力的功则110220,rlrl令：210()dMrMkrler1d()2rrr2120d()2rrkrl221020()()2krlrl21d()2rrdrδdWFr2112dzWM作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若Mz=常量，则1221()zWM如果刚体上作用的是力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对z轴的矩。设刚体绕z轴转动，在其上M点作用有力F，则3．定轴转动刚体上作用力的功其中Ft为力F在作用点M处的轨迹切线上的投影。dFRt于是力F在刚体从角1转到角2过程中作的功为dcosFRdzMδddRCCWFrM平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。4．平面运动刚体上力系的功首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为则刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由角1转到角2时，力系所作的功为221112ddCRCCCWFrM注意：以上结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点（不一定取在质心）。[例1]质量为m=10kg的物体，放在倾角为=30º的斜面上，用刚度系数为k=100N/m的弹簧系住，如图示。斜面与物体间的动摩擦系数为f=0.2，试求物体由弹簧原长位置M0沿斜面运动到M1时，作用于物体上的各力在路程s=0.5m上的功及合力的功。0.2(109.80.866)0.58.5J(109.8)0.50.524.5J解：我们取物体M为研究对象，作用于M上的力有重力mg，斜面法向反力FN，斜面摩擦力F′和弹簧力F，各力所作的功为2212()2FkW合力的功为iWWosin30GWmgsN0FWFWFs2100(00.5)12.5J224.508.512.53.5Jocos30fmgs对任一质点系，若记vir为第i个质点相对质心的速度，则可证明有§13-2质点和质点系的动能221mvT动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功相同的量纲，单位也是焦耳（J）。212iiTmv221122CiirTMvmv称为柯尼希定理物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。一．质点的动能二．质点系的动能212PTJ记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P，质心为C，则2211()22CJMd212iiTmv212iiTmv3．平面运动刚体三．刚体的动能1．平动刚体2．定轴转动刚体即平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心轴转动的动能之和。212iCmv2212iimr212CMv212zJ221()2CJMd221122CCJMv[例2]滚子A的质量为m，沿倾角为的斜面作纯滚动，滚子借绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体，如图所示。滚子与滑轮质量相等，半径相同，皆为均质圆盘，此瞬时物体速度为v，绳不可伸长，质量不计，求系统的动能。221122CCCmvJBCCvrvr222222122111111222222vvTmvmrmvmrrr解：取滚子A、滑轮B、重物作为研究对象，其中重物作平动，滑轮作定轴转动，滚子作平面运动，系统的动能为根据运动学关系，有代入上式得2112mmv212BBJ2112Tmv2Clv221122CCTmvJ[例3]均质细长杆长为l，质量为m，与水平面夹角为30º，已知端点B的瞬时速度为vB，如图所示。求杆AB的动能。则杆的动能为解：滑杆作平面运动，其速度瞬心为P，角速度为质心速度为/2Bvl22221112212BBvmvmll223Bmv2BvlBv§13-3动能定理1．质点的动能定理d1dd()d2vmvtmvvt21dδ2mvW因此此即质点动能定理的微分形式。将上式沿路径积分，可得21MM2221121122mvmvW此即质点动能定理的积分形式。两边同时点乘，有ddvtrddddvmvtFrtddvmFt由牛顿第二定律有注意到21d2mv此即质点系动能定理的微分形式。对质点系中的任一质点i：21dδ2iiimvWdδiTW将上式沿路径积分，可得21MM2112()iTTW此即质点系动能定理的积分形式。21dδ2iiimvW对质点系，有2．质点系的动能定理即21dδ2iiimvW上式表明：质点系在某段运动过程中动能的增量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。1．光滑固定面2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端3．刚体沿固定面纯滚动（不计滚动摩阻）5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量）绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。δd0(d)WNrNrδd'dWNrNr3．理想约束及内力作功理想约束：约束力作功为零的约束。4．光滑铰链（中间铰）dd0NrNr下面考察质点系内力的功由上可知，刚体所有内力作功之和等于零。δd'dABWFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr注意：一般情况下，应用动能定理时要计入摩擦力作的功。若A、B两点间距离保持不变，则总之，应用动能定理时，要仔细分析质点系所有的作用力并确定其是否作功。应用动能定理的解题步骤：（见第六版教材P297～298）dδd0BABAFrWFr，。[例4]曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA=r，连杆AB=4r，C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为m1、m2。曲柄开始时静止且在水平向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度1。22222211221111(4)232212Cmmrmvr解：取曲柄连杆机构为研究对象，初始时系统静止，T1=0。曲柄转过一周，重力的功为零，转矩的功为2πM，代入动能定理，有22112OTJ11122CAvvr，212212)(61rmmT221211()026mmrM11223Mrmm由于则解得11244AvrABr2112TTW22221122CCmvJ曲柄转过一周后，连杆速度瞬心在B点，其速度分布如图b)所示，系统的动能为[例5]图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线，盘A上作用矩为M(常量)的一力偶，重物D重Q。求下落距离h时重物的速度v与加速度a。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止。)2(87)16vQPg(/487)QMRhgvQP解：取系统为研究对象。12WQhM01T2212QTvg222221111322222ABQPPvRRggg2112TTW2(87)0()16vMQPQhgR(*)式求导得：87d216dQPvMvQvgtR8(/)87QMRgaQP由动能定理：解得：(2)ABvRR(/)hR212OAJ212CBJddhvt[例6]图示均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度0至少应为多大？解：取杆OA为研究对象，则全部力所作的功为：221211.2()2WPk221(309.8)1.23000[0(2.41.22)]2388.4(J)221011302.423T02T由动能定理21TTW20028.8388.403.67rad/s2028.8[例7]如图行星齿轮传动机构放在水平面内。动齿轮半径r，重P，可视为均质圆盘；曲柄重Q，长为l，作用一矩为M(常量)的力偶，曲柄由静止开始转动。求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度e。解：取整个系统为研究对象。10T222222111111123222QPPTlvrggg1,vl22222()624QlPPTllggg根据动能定理，得2229012QPlMg①PQgMl9232将①式对t求导数，得2)92(6lPQgMe222912QPlg11//vrlr[例8]两根匀质直杆组成的机构及尺寸如图，OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度v。0.92(0.60.15)2Wmgmg10T222211120.9232Tmmv0.9v21TTW3.98m/sv解：取整个系统为研究对象，则全部力所作的功为：2256Tmv2501.356mvmg根据动能定理得1.35mg2222211112222Tmvmvmr[例9]匀质圆盘A：m、r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象，当下滑S时：2sincosiWmgSfmgS10T运动学关系：rv2254Tmv由动能定理有：250(2sincos)4mvmgSf将上式两边对t求导，得2(2sincos)5afg(2sincos)mgSf§13-4功率·功率方程·机械效率力在单位时间内所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。δdWPtδdddWFrPtt作用在定轴转动刚体上的力的功率为：dδddzMWPtt功率的单位：瓦特（W）或千瓦（kW），1W=1J/s。一．功率注意到，则δdWFrFvFvtzM知质点系动能定理的微分形式为dδiTWδdddiWTtt首先