理论力学哈工大第七版第12章

§12–1质点和质点系的动量矩§12–3刚体绕定轴的转动微分方程第十二章动量矩定理课后习题§12–2动量矩定理§12–4刚体对轴的转动惯量§12-5质点系相对于质心的动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程一、空间力对点的矩以矢量表示—力矩矢—定位矢量FrFMOzyxFFFzyxkji矢量的模——；矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；矢量的指向—按右手螺旋法则确定。OABOAhFFM2二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩()()zoxyxyMFMFFh力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对轴与该平面交点之矩。三、力对点的矩矢与力对过该点的轴的矩的关系FMyFxFFMFMxFzFFMFMzFyFFMzxyzOyzxyOxyzxO力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。§12-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩1.对固定点O的动量矩()OMmvrmvzyxmvmvmvzyxkji定义：质点的动量对固定点的矩——定位矢量对比：空间力对点之矩矢2.对固定轴的动量矩——对z轴的动量矩定义：质点动量在平面内的投影对于平面与z轴交点O的矩。——质点对于z轴的动量矩vmOxyxyvm单位:kg·m2/s（SI）是代数量，从z轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。xyOzvmMvmM对比：空间力对轴之矩[()]()OzzMmvMmv3.质点对固定点的动量矩与对固定轴的动量矩的关系类似：空间力对点之矩与对轴之矩的关系二、质点系的动量矩1()nOOiiiLMmv1()nzziiiLMmv对固定点O的动量矩矢量和对固定轴的动量矩代数和二者关系：[]OzzLLOxyzLLiLjLk即iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJ612zzJL1.刚体平移可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算.()zzCLMmv()OOCLMmv,2.刚体绕定轴转动转动惯量§12-2动量矩定理一、质点的动量矩定理dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt设O为定点,有ddrvt（O为定点）d()dmvFt0vmvFMFrFrvmvO质点的动量定理d()()dxxMmvMFtd()()dyyMmvMFtd()()dzzMmvMFt投影式:d()()dOOMmvMFt利用对点之矩与对轴之矩的关系：质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点的力对同一点的矩。ddd()()dddOOiiOiiLMmvMmvttt()()d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt二、质点系的动量矩定理第i个质点n个质点由于()()0iOiMF质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。（外力对定点O的主矩）。()d()dexxiLMFt()d()dyeyiLMFt投影式:()d()dezziLMFt内力不能改变质点系的动量矩。思考：内力的影响？适用范围：对固定点或固定轴。解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正。RsinmgMM)e(ORmgMmvRJtsin][dd22mRJsinmgRMRaRvatdvd由,，得RvmJLO2.运动分析3.外力分析4.应用动量矩定理（加运动学的补充方程）例12-2水轮机转轮,进口水速度,出口水速度，它们与切线夹角分别为,,总体积流量.求水流对转轮的转动力矩.1v12Vq2v解：2221cosrvtdqnLVCDcd1111cosrvtdqnLVABab222111d()(coscos)dOOVLMFnqvrvrt2221111dd(coscos)OVLqtvrvrn设叶片数为,水密度为,有n三、动量矩守恒定律1.质点的动量矩守恒定律恒矢量，则若vmM0FMOO.vmM0FMzz恒量，则若2.质点系的动量矩守恒定律恒矢量，则若OOL0FMe.L0FMzez恒量，则若应用举例：质点在有心力作用下的运动。有心力：力作用线始终通过某固定点,该点称力心。由于,有()0OMF恒矢量vmrvmMO(1)矢量积方向不变，即矢径和速度位于一固定平面，质点在有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。vmrd2drrA由图,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒。称为面积速度.当人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。dtdA020221maamaLz2)sin(22lamLz时,00时,202)sin(laa由,得12zzLL解：此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零．因此系统对于转轴的动量矩守桓。§12-3刚体绕定轴的转动微分方程12,,,nFFF主动力:12,NNFF约束力:根据质点系对z轴的动量矩定理有：d()()()dizzizNJMFMFt()ziMF刚体绕定轴的转动微分方程＇＇＇或或即111211121112iz２２zizzn1iizzFMdtdJFMαJFMdtdωJ转动惯量：刚体转动惯性的度量，体现了刚体转动状态改变的难易程度。()zzJMF类比：FamzJ刚体绕定轴的转动微分方程质点的运动微分方程形式相似，求解方法相似。RFFJ)(21JRFF)(21解:求微小摆动的周期。例12-5物理摆（复摆），已知aJmO,,解：设角以逆时针方向为正。当小角为正，重力对点O之矩为负。22dsindOJmgatsin微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：)tJmgasin(OO通解为称角振幅，称初相位，由初始条件确定.OmgaJTO2周期224mgaTJO测定转动惯量的一种方法例12-6：已知动滑动摩擦系数，求制动所需时间.tR,F,,JNO0f解：以轮为研究对象。作用于轮上的力除外，还有摩擦力F和重力、轴承约束力。取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为NFddoNJFRfFRt00ddotoNJfFRtRfFJtNoo21121221M,M,RRi,J,JI例12-7：已知求：1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM解：轴I与轴II为两个转动刚体，分别取为两个研究对象，受力情况如图。两轴对轴心的转动微分方程分别为12212112RRi'ttFF解得因21iinizrmJ单位：kg·m2§12-4刚体对轴的转动惯量物理意义：一、转动惯量表述公式相关因素：各质点质量大小、质量分布刚体转动惯性的度量2dzJrm对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式工程应用：常常根据工作需要来选定转动惯量的大小。二、简单形状物体的转动惯量计算1.均质细直杆对过一端点的轴的转动惯量单位长度质量ldxdml3d320lxxJlllzlml由，得231mlJz2.均质薄圆环对中心轴的转动惯量222mRmRRmJiiz3.均质圆板对中心轴的转动惯量Aiiirrmd22RmA42)d2(402RrrrJARAO221mRJO或4.回转半径（惯性半径）mJzz2zzmJ或对于几何形状相同的均质物体，其回转半径公式相同（物质组成可不同）。回转半径的几何意义：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。三、平行轴定理2mdJJzCz2mdJJzcz由平行轴定理可知，刚体对于诸平行轴，以通过质心的轴的转动惯量为最小。刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即)yx(mJizC2121)yx(mrmJiiz222])dy(x[mi2121iiimdymd)yx(m212121201iiCmymy证明：因为2mdJJzCz01ymi有，得231mlJz要求记住几个转动惯量12222ml)l(mJJzzC则lm,例12-8：均质细直杆，已知求：对过质心且垂直于杆的轴的转动惯量。cz对一端的z轴，有解：四、转动惯量的确定方法1.组合法例12-9已知杆长为,质量为,圆盘直径为d，质量为求：l1m2mOJ盘杆OOOJJJ解：231mlJO杆22222221)dl(m)d(mJO盘)ldld(m22283)ldld(mlmJO22221833121JJJz2222112121RmRm)(214241RRlJz解：lRm222lRm211其中mRRl)(2221由，得)(212221RRmJz))((2122212221RRRRl21,,RRm例12-10：已知：，zJ求.2.实验法将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.mglJT2由lm,TJ其中已知,可测得，从而求得.解：224mglTJ例：求对O轴的转动惯量。3.查表法（表12-1）均质物体的转动惯量薄壁圆筒细直杆体积惯性半径转动惯量简图物体的形状212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2薄壁空心球空心圆柱圆柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23圆环圆锥体实心球252mRJZRz52343R)4(803103222lrmJJmrJyxZ)4(80310322lrryxzlr23)43(22rRmJZ2243rRzRr222矩形薄板长方体椭圆形薄板222244)(4bmJamJbamJyyZ222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmJcamJbamJyyZ)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmJamJbamJyyZbabayxz289.0289.0)(12122abh质点系的质心或过质心的轴：特殊的动点或动轴一、对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmv由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得0ccciiciivrmvrmvmr'''0iiCmrrm（因）有CiiirLrmv§12-5质点系相对于质心的动量矩定理无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.即：质点系相对质心的动量矩也等于质点系内各质点相对于质心平移参考系的动量对质心C的矩的矢量和。CiiirLrmvCCiiiiiLMmvrmv只对质心成立，对一般的点不成立。,iiCiiiCmvmvrmvLOCCCLrmvL二、对任一点O的动量矩iiicOvmrrL'Ciiiiirmvrmv