选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义

1选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰本部分是人教Ａ版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。估计在2015年高考中仍是重点，作为选考题一般难度不大，属于明显的“送分题”！现整理如下，以期抛砖引玉！第一节坐标系基本知识点：1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x，λ＞0，y′＝μ·y，μ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθy＝ρsinθρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠04.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)3必考知识点：1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]：1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．2．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为________．1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤(1)运用ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)(2)在[0,2π)内由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]：1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．考点一：平面直角坐标系中的伸缩变换41.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．2．函数y＝sin(2x＋π4)经伸缩变换x′＝2x，y′＝12y后的解析式为________．3．双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标为________．[类题通法]：平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换x′＝λ·x，λ0y′＝μ·y，μ0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二：极坐标与直角坐标的互化[典例]1：(2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcosθ－10(ρ0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．[类题通法]：直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练]：(2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ5＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的位置关系是________．考点三：极坐标方程及应用[典例]2(2013·郑州模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋π4)＝22.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．变式：在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcosθ＝3(ρ≥0,0≤θπ2)交点的极坐标.[类题通法]：求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练]：(2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．第二节参数方程必考知识点：1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．6(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程易错点：1.不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．[练一练]：1．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为________．A.23B．－23C.32D．－322．参数方程为x＝3t2＋2y＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθy＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)71．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[练一练]：1．已知P1，P2是直线x＝1＋12t，y＝－2＋32t(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是________．2．已知直线x＝2－12t，y＝－1＋12t(t为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B，C两点，则|BC|的值为________．考点一：参数方程与普通方程的互化1.曲线x＝23cosθy＝32sinθ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．82．(2014·西安质检)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．3．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线x＝－t，y＝3t(t为参数，t∈R)与曲线C1：ρ＝4sinθ异于点O的交点为A，与曲线C2：ρ＝2sinθ异于点O的交点为B，则|AB|＝________.[类题通法]:参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．考点二：参数方程的应用[典例]1：(2013·郑州模拟)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，曲线C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．变式：在本例(1)条件下，若直线C1：x＝1＋tcosαy＝tsinα，(t为参数)，与直线C2x＝s，y＝1－as(s为参数)垂直，求a.[类题通法]：1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)9当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[针对训练]：(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P，Q在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α为(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．考点三：极坐标、参数方程的综合应用[典例]2：(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．[类题通法]：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练]：(2013·石家庄质检)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．选修4-4坐标系与参数方程专题训练101．[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．2．[2014·安徽卷]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l