选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)

2020年1月26日星期日三个正数的算术-几何平均不等式复习回顾22,2,abRababab1.基本不等式:(1)如果，那么　　当且仅当时，等号成立．(2),0,2abababab如果，那么　当且仅当时，等号成立．2(3),0(),2abababab如果，那么　当且仅当时，等号成立．2.用均值不等式求最值时,要满足:一正、二定、三相等.问题探讨222(,),abababR3.我们先考虑把不等式推广到三个正数的情形结果是什么？(,)2,abababR1.把不等式推广到三个正数的情形结果是什么？3(,,).3abcabcabcR3333(,,)abcabcabcR2.怎么证明以上不等式？问题探讨333,,,3abcRabcabc已知求证，并探讨等号成立的条件．3333abcabc证:3223223(33)333aababbababcabc3322()333abcabababc22()[()()]3()abcababccababc222()[23]abcaabbacbccab222()[]abcabcabbcac33223()33xyxxyxyy3322()()xyxyxxyy问题探讨333,,,3abcRabcabc已知求证，并探讨等号成立的条件．3333abcabc证:2221()[222222]2abcabcabbcac2221()[()()()]0,2abcabbcac3333,abcabcabc当且仅当时，等号成立．问题探讨3(,,)3abcabcabcR怎么证明不等式？3333333()()()3abcabcabc证：　　　　　　，abc当且仅当时，等号成立．3333(,,)abcabcabcR3,,,3abcabcRabcabc如果那么，　　　当且仅当时，等号成立．定理3即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理3可以推广一般的情形：对于n个正数123,,,naaaa，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即123123nnnaaaaaaaan≥(当且仅当123naaaa时取等号.)3,,,.3abcabcRabc②若则（）121212,,,,.nnnnaaaaaaRaaan③若则（）2,,.2ababRab①若则（）基本不等式的变形：定理:设,,xyz都是正数，那么⑴若xyzS（定值），则当xyz时，xyz有最小值33.s⑵若xyzp（定值），则当xyz时，xyz有最大值p3/27.注：一正、二定、三相等例1求函数在上的最大值.()(,)yxx21130310,130,3xx故得解：2433(13)[(13)]922xxyxxx343/23/2131[].93243xxx3213,29xxx当即当且仅时，21(13)243yxx函数取最大值．xyz∴当且仅当xy=yz=xz,即x=y=z时，V2有最大值，证：设长方体同一顶点处的三条棱长分别为x,y,z,体积为V,表面积为S，则S=2(xy+yz+xz),于是得例2求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.()Vxyzxyxzyz22()()xyxzyzS3336，从而可知，表面积为定值S的长方体中，以正方体的体积最大.例3:如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时？才能使盒子的容积最大？xa解:设小正方形边长为x,盒子的容积为V,则21(2)[(2)(2)4]4Vaxxaxaxx331(2)(2)42,4327axaxxa24,6aaxxx当且仅当即时,等号成立,即小正方形的边长是原正方形边长312627a的时,盒子的容积取最大值．3,,3()2().32abcRabcababcab已知,求证：　　　例3.课堂练习：211.(15)(0)5yxxx求函数的最大值．max24.15675xy当时,答案:2,,8,2xyRxyxy2.若且求的最小值．2,22xyxy当时,取最小值6．答案:223.(0)yxxx求函数的最小值．min13.xy当时,答案:270,()xyxxyy--------4.若求则的最小值为9练习:1.已知0,0ab,2310ab,则23ab的最大值是____.2532282.已知0x，0y，且21xy，则11uxy的最小值是_________3.函数28(1)1xyxx的最小值为______小结1.基本不等式：22,2abRabab①若，则．,,2ababRab若则．③333,,,3abcRabcabc②若则．3,,,3abcabcRabc若则．④121212,,,,.nnnnaaaaaaRaaan若则≥⑤3,,,.3abcabcRabc②若则（）121212,,,,.nnnnaaaaaaRaaan③若则（）2,,.2ababRab①若则（）2.基本不等式的变形：作业:P1011-15小结数2121.求函y=3x+x0的最小值.x22123312∵y=3x+=x+x+22解xx:3233123x×x×=922x当仅当时min2312∴且x=,即x=2,y=9.2x